9.1: Operadores de giro
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Debido a que el giro es un tipo de momento angular, es razonable suponer que posee propiedades similares al momento angular orbital. Así, por analogía con la Sección [s8.2], esperaríamos poder definir tres operadores—\(S_x\),\(S_y\), y\(S_z\) —que representan los tres componentes cartesianos del momento angular de giro. Además, es plausible que estos operadores posean relaciones de conmutación análogas a los tres operadores de momento angular orbital correspondientes,\(L_x\),\(L_y\), y\(L_z\). [Ver Ecuaciones ([e8.6]) — ([e8.8]).] En otras palabras,
\[\begin{aligned} \label{e10.1x} [S_x, S_y]&= {\rm i}\,\hbar\,S_z,\\[0.5ex] [S_y, S_z]&= {\rm i}\,\hbar\,S_x,\\[0.5ex] [S_z,S_x]&= {\rm i}\,\hbar\,S_y.\label{e10.2x}\end{aligned}\]Podemos representar la magnitud al cuadrado del vector de momento angular de giro por el operador\[S^2 = S_x^{\,2} + S_y^{\,2}+ S_z^{\,2}.\] Por analogía con el análisis en la Sección [s8.2], se demuestra fácilmente que\[[S^2, S_x] = [S^2, S_y] = [S^2,S_z] = 0.\] Concluimos así (ver Sección [frotis]) que podemos medir simultáneamente la magnitud al cuadrado del vector de momento angular de giro, junto con, como máximo, un componente cartesiano. Por convención, siempre elegiremos medir el\(z\) -componente,\(S_z\).
Por analogía con la Ecuación ([e8.13]), podemos definir operadores de elevación y descenso para el momento angular de giro:\[S_\pm = S_x \pm {\rm i}\,S_y.\] Si\(S_x\)\(S_y\),, y\(S_z\) son operadores hermitianos, como debe ser el caso si van a representar cantidades físicas, entonces\(S_\pm\) son los hermitianos conjugados entre sí: es decir,
\[\label{e10.7} (S_\pm)^\dagger = S_\mp.\]Finalmente, por analogía con la Sección [s8.2], se demuestra fácilmente que\[\begin{aligned} S_+\,S_- &= S^2-S_z^{\,2}+\hbar\,S_z,\label{e10.7a}\\[0.5ex] S_-\,S_+&= S^2-S_z^{\,2}-\hbar\,S_z,\label{e10.8}\\[0.5ex] [S_+,S_z]&= - \hbar\,S_+,\label{e10.9}\\[0.5ex] [S_-,S_z]&= +\hbar\,S_-.\label{e10.10}\end{aligned}\]
Colaboradores y Atribuciones
Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)