9.3: Estados propios de Sz y S²

Debido a que los operadores\(S_z\) y\(S^2\) conmutan, deben poseer autoestados simultáneos. (Ver Sección [frotis].) Que estos autoestados tomen la forma [ver Ecuaciones ([e8.29]) y ([e8.30])]: \[\begin{aligned} S_z\,\chi_{s,m_s}&= m_s\,\hbar\,\chi_{s,m_s},\label{e10.16}\\[0.5ex] S^2\,\chi_{s,m_s} &= s\,(s+1)\,\hbar^{\,2}\,\chi_{s,m_s}.\label{e10.17}\end{aligned}\]

Ahora bien, se demuestra fácilmente, a partir de las relaciones de conmutación ([e10.9]) y ([e10.10]), que\[S_z\,(S_+\,\chi_{s,m_s}) = (m_s+1)\,\hbar\,(S_+\,\chi_{s,m_s}),\] y\[S_z\,(S_-\,\chi_{s,m_s}) = (m_s-1)\,\hbar\,(S_-\,\chi_{s,m_s}).\] Así,\(S_+\) y de hecho\(S_-\) son los operadores de elevación y bajada, respectivamente, para el momento angular de giro. (Ver Sección [seian].) Los autoestados de\(S_z\) y\(S^2\) se supone que son ortonormales: es decir, \[\label{e10.20} \chi^\dagger_{s,m_s}\,\chi_{s',m_s'} =\delta_{ss'}\,\delta_{m_s m_s'}.\]

Considera la función de onda\(\chi=S_+\,\chi_{s,m_s}\). Porque sabemos, a partir de la Ecuación ([e10.11]), eso\(\chi^\dagger\,\chi\geq 0\), se deduce que\[(S_+\,\chi_{s,m_s})^\dagger\,(S_+\,\chi_{s,m_s}) = \chi_{s,m_s}^\dagger\, S_+^\dagger\,S_+\,\chi_{s,m_s} = \chi_{s,m_s}^\dagger\,S_-\,S_+\,\chi_{s,m_s}\geq 0,\] donde se ha hecho uso de la Ecuación ([e10.7]). Ecuaciones ([e10.8]), ([e10.16]), ([e10.17]), y ([e10.20]) rinden\[s\,(s+1) \geq m_s\,(m_s+1).\] Del mismo modo, si\(\chi=S_-\,\chi_{s,m_s}\) entonces obtenemos\[s\,(s+1)\geq m_s\,(m_s-1).\] Suponiendo que\(s\geq 0\), las dos desigualdades anteriores implican que\[-s \leq m_s\leq s.\] Por lo tanto, en fijo\(s\), hay ambas un valor máximo y mínimo posible que\(m_s\) pueda tomar.

Dejar\(m_{s\,{\rm min}}\) ser el valor mínimo posible de\(m_s\). De ello se deduce que (ver Sección [slsq])\[S_-\,\chi_{s,m_{s\,{\rm min}}}= 0.\] Ahora, de la Ecuación ([e10.7a]),\[S^2 = S_+\,S_-+S_z^{\,2}-\hbar\,S_z.\] De ahí,\[S^2\,\chi_{s,m_{s\,{\rm min}}} = (S_+\,S_- +S_z^{\,2}-\hbar\,S_z)\,\chi_{s,m_{s\,{\rm min}}},\] dando\[s\,(s+1) = m_{s\,{\rm min}}\,(m_{s\,{\rm min}}-1).\] Suponiendo que\(m_{s\,{\rm min}}<0\), esta ecuación rinde\[m_{s\,{\rm min}} = -s.\] Del mismo modo, se demuestra fácilmente que\[m_{s\,{\rm max}} = +s.\] Por otra parte,

\[\label{e10.31} S_-\,\chi_{s,-s} = S_+\,\chi_{s,s} = 0.\]

Ahora, el operador de crianza\(S_+\), actuando sobre\(\chi_{s,-s}\), lo convierte en algún múltiplo de\(\chi_{s,-s+1}\). Empleando al operador de elevación por segunda vez, obtenemos un múltiplo de\(\chi_{s,-s+2}\). No obstante, este proceso no puede continuar indefinidamente, porque hay un valor máximo posible de\(m_s\). En efecto, después de actuar sobre\(\chi_{s,-s}\) un número suficiente de veces con el operador de elevación\(S_+\), debemos obtener un múltiplo de\(\chi_{s,s}\), de modo que emplear al operador de elevación una vez más conduzca al estado nulo. [Ver Ecuación ([e10.31]).] Si no es así entonces inevitablemente obtendremos autoestados de\(S_z\) corresponderles\(m_s>s\), lo que ya hemos demostrado es imposible.

Se deduce, del argumento anterior, que\[m_{s\,{\rm max}}-m_{s\,{\rm min}} = 2\,s = k,\] donde\(k\) es un entero positivo. Por lo tanto, el número cuántico\(s\) puede tomar valores enteros positivos o semienteros positivos. Hasta ahora, nuestro análisis ha sido muy similar al que utilizamos anteriormente para investigar el momento angular orbital. (Ver Sección [sorb].) Recordemos, que para el momento angular orbital el número cuántico\(m\), que es análogo a\(m_s\), está restringido a tomar valores enteros. (Ver Sección [slz].) Esto implica que el número cuántico\(l\), que es análogo a\(s\), también está restringido a tomar valores enteros. Sin embargo, el origen de estas restricciones es la representación de los operadores de momento angular orbital como operadores diferenciales en el espacio real. (Ver Sección [s8.3].) No hay representación equivalente de los operadores de momento angular de giro correspondientes. De ahí que concluimos que no hay razón por la que el número cuántico\(s\) no pueda tomar valores de medio entero, así como entero.

En 1940, Wolfgang Pauli demostró el llamado teorema de spin-estadística utilizando mecánica cuántica relativista. Según este teorema, todos los fermiones poseen spin semientero (es decir, un valor medio entero de\(s\)), mientras que todos los bosones poseen spin entero (es decir, un valor entero de\(s\)). De hecho, todos los fermiones actualmente conocidos, incluidos los electrones y protones, poseen la mitad de espín. En otras palabras, los electrones y protones se caracterizan por\(s=1/2\) y\(m_s=\pm 1/2\).

Colaboradores y Atribuciones

• Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)