9.4: Representación Pauli

Denotemos los dos estados propios de espín independientes de un electrón como

\[\chi_\pm \equiv \chi_{1/2,\pm 1/2}.\]Se deduce así, de las Ecuaciones ([e10.16]) y ([e10.17]), que\[\begin{aligned} S_z\,\chi_\pm &= \pm \frac{1}{2}\,\hbar\,\chi_\pm,\label{e10.34}\\[0.5ex] S^2\,\chi_\pm &= \frac{3}{4}\,\hbar^{\,2}\,\chi_\pm.\end{aligned}\] Note que\(\chi_+\) corresponde a un electrón cuyo vector de momento angular de espín tiene una componente positiva a lo largo del\(z\) eje -eje. Hablando vagamente, podríamos decir que el vector de giro apunta en la\(+z\) dirección -dirección (o su giro es “arriba”). De igual manera,\(\chi_-\) corresponde a un electrón cuyo giro apunta en la\(-z\) dirección -dirección (o cuyo giro es “hacia abajo”). Estos dos autoestados satisfacen los requisitos de ortonormalidad

\[\label{e10.35} \chi_+^\dagger\,\chi_+ = \chi_-^\dagger\,\chi_- = 1,\]y

\[\label{e10.36} \chi_+^\dagger\,\chi_- = 0.\]Un estado general de espín puede representarse como una combinación lineal de\(\chi_+\) y\(\chi_-\): es decir,\[\chi = c_+\,\chi_+ + c_-\,\chi_-.\] Es así evidente que el espacio de espín electrónico es bidimensional.

Hasta ahora, hemos discutido el espacio de giro en términos bastante abstractos. A continuación, describiremos una representación particular del espacio de espín electrónico debido a Pauli. Esta llamada representación Pauli nos permite visualizar el espacio de giro, y también facilita los cálculos que involucran giro.

Intentemos representar un estado de giro general como un vector de columna complejo en algún espacio bidimensional: es decir,\[\chi \equiv \left(\begin{array}{c}c_+\\c_-\end{array}\right).\] El vector dual correspondiente se representa como un vector de fila: es decir,\[\chi^\dagger\equiv (c_+^\ast, c_-^\ast).\] Además, el producto\(\chi^\dagger\,\chi\) se obtiene de acuerdo con las reglas ordinarias de matriz multiplicación: es decir,\[\chi^\dagger\,\chi = (c_+^\ast, c_-^\ast)\left(\begin{array}{c}c_+\\c_-\end{array}\right) = c_+^\ast\,c_+ + c_-^\ast\,c_- = |c_+|^{\,2} + |c_-|^{\,2}\geq 0.\] Del mismo modo, el producto\(\chi^\dagger\,\chi'\) de dos estados de espín diferentes también se obtiene a partir de las reglas de multiplicación matricial: es decir,\[\chi^\dagger\,\chi' = (c_+^\ast, c_-^\ast)\left(\begin{array}{c}c_+'\\c_-'\end{array}\right) = c_+^\ast\,c_+' + c_-^\ast\,c_-'.\] Tenga en cuenta que esta representación particular del espacio de giro está en completa conformidad con la discusión en la Sección 1.3. Por razones obvias, un vector utilizado para representar un estado de espín se conoce generalmente como spinor.

Un operador de espín general\(A\) se representa como una\(2\times 2\) matriz que opera sobre una espinora: es decir,\[A\,\chi \equiv \left(\begin{array}{cc}A_{11},& A_{12}\\ A_{21},& A_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c_+\\c_-\end{array}\right).\] como se demuestra fácilmente, el conjugado hermitiano de\(A\) está representado por el conjugado complejo transpuesto de la matriz utilizada para representar\(A\): es decir,\[A^\dagger \equiv \left(\begin{array}{cc}A_{11}^\ast,& A_{21}^\ast\\ A_{12}^\ast,& A_{22}^\ast\end{array}\right).\]

Representemos los propios estados de giro\(\chi_+\) y\(\chi_-\) como\[\chi_+ \equiv \left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\] y\[\chi_- \equiv \left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right),\] respectivamente. Tenga en cuenta que estas formas satisfacen automáticamente las restricciones de ortonormalidad ([e10.35]) y ([e10.36]). Es conveniente escribir los operadores de giro\(S_i\) (donde\(i=1,2,3\) corresponde a\(x,y,z\)) como

\[\label{e10.46} S_i = \frac{\hbar}{2}\,\sigma_i.\]Aquí, las\(2\times 2\) matrices\(\sigma_i\) son adimensionales. De acuerdo con las Ecuaciones ([e10.1x]) — ([e10.2x]), el\(\sigma_i\) satisfacer las relaciones de conmutación\[\begin{aligned} [\sigma_x, \sigma_y]&= 2\,{\rm i}\,\sigma_z,\\[0.5ex] [\sigma_y, \sigma_z]&= 2\,{\rm i}\,\sigma_x,\\[0.5ex] [\sigma_z,\sigma_x]&= 2\,{\rm i}\,\sigma_y.\end{aligned}\] Además, la ecuación ([e10.34]) rinde\[\sigma_z\,\chi_\pm = \pm \chi_\pm.\] Se demuestra fácilmente, a partir de las expresiones anteriores, que los\(\sigma_i\) están representados por el siguientes matrices:\[\begin{aligned} \sigma_x&\equiv \left(\begin{array}{cc}0,&1\\ 1,& 0\end{array}\right),\\[0.5ex] \sigma_y&\equiv \left(\begin{array}{cc}0,&-{\rm i}\\ {\rm i},& 0\end{array}\right),\\[0.5ex] \sigma_z&\equiv \left(\begin{array}{cc}1,&0\\ 0,& -1\end{array}\right).\label{e10.53}\end{aligned}\] Por cierto, estas matrices se conocen generalmente como las matrices Pauli.

Finalmente, una espinora general toma la forma\[\chi = c_+\,\chi_++c_-\,\chi_- = \left(\begin{array}{c}c_+\\c_-\end{array}\right).\] Si la espinora se normaliza adecuadamente entonces\[\chi^\dagger\,\chi = |c_+|^{\,2} + |c_-|^{\,2} =1.\] En este caso, podemos interpretar\(|c_+|^{\,2}\) como la probabilidad de que una observación de\(S_z\) produzca el resultado\(+\hbar/2\), y\(|c_-|^{\,2}\) como la probabilidad de que una observación de\(S_z\) voluntad arrojar el resultado\(-\hbar/2\).

Colaboradores y Atribuciones

• Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)