11.4: Teoría de la perturbación no degenerada

Generalicemos ahora nuestro análisis de perturbación para tratar con sistemas que poseen más de dos autoestados energéticos. Consideremos un sistema en el que se denotan los propios estados energéticos del imperturbable hamiltoniano\(H_0\),,\[H_0\,\psi_n = E_n\,\psi_n,\] donde\(n\) va de 1 a\(N\). Se supone que los autoestados son ortonormales, de modo que\[\langle m|n\rangle = \delta_{nm},\] y forman un conjunto completo. Tratemos ahora de resolver el problema del valor propio de la energía para el perturbado hamiltoniano: De\[(H_0+H_1)\,\psi_E = E\,\psi_E.\] ello se deduce que\[\langle m|H_0+H_1|E\rangle = E\,\langle m |E\rangle,\] donde\(m\) puede tomar cualquier valor de 1 a\(N\). Ahora, podemos expresarnos\(\psi_E\) como una superposición lineal de los autoestados energéticos imperturbables:\[\psi_E = \sum_k \langle k|E\rangle\,\psi_k,\] donde\(k\) va de 1 a\(N\). Podemos combinar las ecuaciones anteriores para dar

\[\label{e12.45} (E_m-E+e_{mm})\,\langle m|E\rangle + \sum_{k\neq m} e_{mk}\,\langle k|E\rangle = 0,\]donde\[e_{mk} =\langle m|H_1| k\rangle.\]

Desarrollemos ahora nuestra expansión de perturbación. Suponemos que\[\frac{e_{mk}}{E_m-E_k} \sim {\cal O}(\epsilon)\] para todos\(m\neq k\), dónde\(\epsilon\ll 1\) está nuestro parámetro de expansión. También asumimos eso\[\frac{e_{mm}}{E_m}\sim {\cal O}(\epsilon)\] para todos\(m\). Busquemos una versión modificada del\(n\) th autoestado energético imperturbable para el cual\[E = E_n + {\cal O}(\epsilon),\] y\[\begin{aligned} \langle n|E\rangle &= 1,\\[0.5ex] \langle m|E\rangle&={\cal O}(\epsilon)\end{aligned}\] para\(m\neq n\). Supongamos que escribimos la Ecuación ([e12.45]) para\(m\neq n\), descuidando términos que están de\({\cal O}(\epsilon^{\,2})\) acuerdo con nuestro esquema de expansión. Encontramos que\[(E_m-E_n)\,\langle m|E\rangle + e_{mn} \simeq 0,\] dando\[\langle m|E\rangle \simeq - \frac{e_{mn}}{E_m-E_n}.\] Sustituyendo la expresión anterior en Ecuación ([e12.45]), evaluada para\(m=n\), y descuidando\({\cal O}(\epsilon^{\,3})\) términos, obtenemos\[(E_n-E+e_{nn})-\sum_{k\neq n}\frac{|e_{nk}|^{\,2}}{E_k-E_n} \simeq 0.\] Así, el estado propio de energía modificado\(n\) posee un valor propio

\ begin {ecuación} E_ {n} ^ {\ prime} =E_ {n} +e_ {n n} +\ suma_ {k\ neq n}\ frac {\ izquierda|e_ {n k}\ derecha|^ {2}} {E_ {n} -E_ {k}} +\ mathcal {O}\ izquierda (\ épsilon^ {3} derecha)\ end {ecuación} y una función de onda

\[\label{e12.57} \psi_n' = \psi_n + \sum_{k\neq n} \frac{e_{kn}}{E_n-E_k}\,\psi_k + {\cal O}(\epsilon^{\,2}).\]Por cierto, se demuestra fácilmente que los autoestados modificados permanecen ortonormales para\({\cal O}(\epsilon^{\,2})\).

Colaboradores y Atribuciones

• Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)