11.6: Teoría de la perturbación degenerada

Investiguemos, de manera bastante ingenua, el efecto Stark en un estado excitado (es decir,\(n>1\)) del átomo de hidrógeno usando la teoría estándar de perturbación no degenerada. Podemos escribir\[H_0\,\psi_{nlm} = E_n\,\psi_{nlm},\] porque los autoestados energéticos del imperturbable hamiltoniano solo dependen del número cuántico\(n\). Haciendo uso de las reglas de selección ([e12.63]) y ([e12.73]), la teoría de perturbación no degenerada produce las siguientes expresiones para los niveles de energía perturbados y los estados propios [ver Ecuaciones ([e12.56]) y ([e12.57])]:

\[\label{e12.88} E_{nl}' = E_n + e_{nlnl} + \sum_{n',l'=l\pm 1}\frac{|e_{n'l'nl}|^{\,2}}{E_n-E_{n'}},\]y

\[\label{e12.89} \psi'_{nlm} = \psi_{nlm} + \sum_{n',l'=l\pm 1}\frac{e_{n'l'nl}}{E_n-E_{n'}}\,\psi_{n'l'm},\]donde\[e_{n'l'nl} = \langle n',l',m|H_1|n,l,m\rangle.\] Desafortunadamente, si\(n>1\) entonces las sumataciones en las expresiones anteriores no están bien definidas, porque existen elementos de matriz distintos de cero,\(e_{nl'nl}\), que acoplan autoestados degenerados: es decir, existen elementos de matriz distintos de cero que acoplan estados con el mismo valor de\(n\), pero diferentes valores de\(l\). Estos elementos particulares de la matriz dan lugar a factores singulares\(1/(E_n-E_n)\) en las sumaciones. Esto no ocurre si\(n=1\) porque, en este caso, la regla de selección\(l'=l\pm 1\), y el hecho de que\(l=0\) (porque\(0\leq l < n\)), sólo\(l'\) permiten tomar el único valor 1. Por supuesto, no hay\(n=1\) estado con\(l'=1\). De ahí que solo exista un estado acoplado correspondiente al valor propio\(E_1\). Desafortunadamente, si\(n>1\) entonces hay múltiples estados acoplados correspondientes al valor propio\(E_n\).

Tenga en cuenta que nuestro problema desaparecería si los elementos de la matriz del hamiltoniano perturbado correspondientes al mismo valor de\(n\), pero diferentes valores de\(l\), fueran todos cero: es decir, si

\[\label{e12.91} \langle n,l',m|H_1|n,l,m\rangle = \lambda_{nl}\,\delta_{ll'}.\]En este caso, todos los términos singulares en Ecuaciones ([e12.88]) y ([e12.89]) se reducirían a cero. Desafortunadamente, la ecuación anterior no está satisfecha en general. Afortunadamente, siempre podemos redefinir los autoestados imperturbables correspondientes al autovalor de tal\(E_n\) manera que se satisfaga la Ecuación ([e12.91]). Supongamos que hay autoestados\(N_n\) acoplados que pertenecen al autovalor\(E_n\). Definamos\(N_n\) nuevos estados que son combinaciones lineales de nuestros propios estados degenerados\(N_n\) originales:\[\psi_{nlm}^{(1)}= \sum_{k=1,N_n}\langle n,k,m|n,l^{(1)},m\rangle\,\psi_{nkm}.\] Obsérvese que estos nuevos estados también son autoestados de energía degenerada de los hamiltonianos imperturbados\(H_0\),, correspondientes al autovalor\(E_n\). Los\(\psi_{nlm}^{(1)}\) son elegidos de tal manera que también son autoestados del perturbador hamiltoniano,\(H_1\): es decir, son autoestados simultáneos de\(H_0\) y\(H_1\). Así, \[\label{e12.93} H_1\,\psi_{nlm}^{(1)} = \lambda_{nl}\,\psi_{nlm}^{(1)}.\]\(\psi_{nlm}^{(1)}\)Los también se eligen para que sean ortonormales: es decir, De\[\langle n,l'^{(1)},m|n,l^{(1)},m\rangle = \delta_{ll'}.\] ello se deduce que\[\langle n,l'^{(1)},m|H_1|n,l^{(1)},m\rangle =\lambda_{nl}\, \delta_{ll'}.\] Así, si usamos los nuevos autoestados, en lugar de los antiguos, entonces podemos emplear ecuaciones ([e12.88]) y ([e12.89]) directamente, porque todos los términos singulares desaparecen. La única dificultad que queda es determinar los nuevos autoestados en términos de los originales.

Ahora [vea Ecuación ([e12.20])]\[\sum_{l=1,N_n}|n,l,m\rangle\langle n,l,m|\equiv 1,\] donde\(1\) denota el operador de identidad en el subespacio de todos los autoestados acoplados no perturbados correspondientes al valor propio\(E_n\). Usando esta relación de integridad, la ecuación de valor propio ([e12.93]) se puede transformar en una ecuación matricial sencilla:\[\sum_{l''=1,N_n}\langle n,l',m|H_1|n,l'',m\rangle\,\langle n,l'',m|n,l^{(1)},m\rangle = \lambda_{nl}\,\langle n,l',m|n,l^{(1)},m\rangle.\] Esto se puede escribir de manera más transparente como

\[\label{e12.100} {\bf U}\,{\bf x} = \lambda \,{\bf x},\]donde\({\bf U}\) están los elementos de la matriz\(N_n\times N_n\) hermitiana\[U_{jk} = \langle n,j,m|H_1|n,k,m\rangle.\] Siempre que el determinante de\({\bf U}\) sea distinto de cero, la Ecuación ([e12.100]) siempre se puede resolver para dar\(N_n\) valores propios\(\lambda_{nl}\) (for\(l=1\) to\(N_n\)), con \(N_n\)vectores propios correspondientes\({\bf x}_{nl}\). Los autovectores normalizados especifican los pesos de los nuevos autoestados en términos de los autoestados originales: es decir,\[({\bf x}_{nl})_k = \langle n,k,m|n,l^{(1)},m\rangle,\] para\(k=1\) a\(N_n\). En nuestro nuevo esquema, las ecuaciones ([e12.88]) y ([e12.89]) rinden\[E_{nl}' = E_n +\lambda_{nl}+\sum_{n'\neq n,l'=l\pm 1}\frac{|e_{n'l'nl}|^{\,2}}{E_n-E_{n'}},\] y No\[\psi_{nlm}^{(1)'} = \psi_{nlm}^{(1)} + \sum_{n'\neq n,l'=l\pm 1} \frac{e_{n'l'nl}}{E_n-E_{n'}}\,\psi_{n'l'm}.\] hay términos singulares en estas expresiones, porque las sumataciones han terminado\(n'\neq n\): es decir, excluyen específicamente los autoestados energéticos problemáticos, degenerados, imperturbados correspondiente al valor propio\(E_n\). Tenga en cuenta que los cambios de energía de primer orden son equivalentes a los valores propios de la ecuación matricial ([e12.100]).

Colaboradores y Atribuciones

• Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)