12.7: Aproximación del dipolo eléctrico

En general, la longitud de onda del tipo de radiación electromagnética que induce, o se emite durante, las transiciones entre diferentes niveles de energía atómica es mucho mayor que el tamaño típico de un átomo. Así, se\[\exp(\,{\rm i}\,{\bf k}\!\cdot\!{\bf r}) = 1 + {\rm i}\, {\bf k}\!\cdot\!{\bf r}+\cdots,\] puede aproximar por su primer término, la unidad. Este enfoque se conoce como la aproximación del dipolo eléctrico. De ello se deduce que\[\langle f|\epsilon\!\cdot\!{\bf p}\,\exp(\,{\rm i}\,{\bf k}\!\cdot\!{\bf r})|i\rangle\simeq {\epsilon}\!\cdot\!\langle f|{\bf p}|i\rangle.\]

Ahora bien, se demuestra fácilmente que\ begin {ecuación}\ left [\ mathbf {r}, H_ {0}\ right] =\ frac {i\ hbar\ mathbf {p}} {m_ {\ mathrm {e}}}\ end {ecuación}

\[\langle f|{\bf p}|i\rangle = - {\rm i}\,\frac{m_e}{\hbar}\,\langle f|[{\bf r},H_0]|i\rangle = {\rm i}\,m_e\,\omega_{fi}\,\langle f|{\bf r}|i\rangle.\]así, nuestras expresiones anteriores para las tasas de transición para la absorción inducida por radiación y la emisión estimulada reducen a

\[\begin{aligned} \label{e13.97} w_{i\rightarrow f}^{abs} &= \frac{\pi}{\epsilon_0\,\hbar^{\,2}}\,|\epsilon\!\cdot \!{\bf d}_{if}|^{\,2}\,\rho(\omega_{fi}),\\[0.5ex] w_{i\rightarrow f}^{stm} &= \frac{\pi}{\epsilon_0\,\hbar^{\,2}}\,|\epsilon\!\cdot\!{\bf d}_{if}|^{\,2}\,\rho(\omega_{if}),\label{e13.98}\end{aligned}\]respectivamente. Aquí,\[{\bf d}_{if} = \langle f|e\,{\bf r}|i\rangle\] está el momento dipolar eléctrico efectivo del átomo al hacer una transición de estado\(i\) a estado\(f\).

Las ecuaciones ([e13.97]) y ([e13.98]) dan las tasas de transición para absorción y emisión estimulada, respectivamente, inducidas por una onda plana linealmente polarizada. En realidad, estamos más interesados en las tasas de transición inducidas por la radiación isotrópica no polarizada. Para obtener estos debemos promediar las Ecuaciones ([e13.97]) y ([e13.98]) sobre todas las posibles polarizaciones y direcciones de propagación de la onda. Para facilitar este proceso, podemos definir un conjunto de coordenadas cartesianas de tal manera que el vector de onda\({\bf k}\), que especifica la dirección de propagación de la onda, apunta a lo largo del\(z\) eje -y el vector\({\bf d}_{if}\), que especifica la dirección del momento dipolo atómico, se encuentra en el\(x\) - \(z\)avión. De ello se deduce que el vector\(\epsilon\), que especifica la dirección de polarización de onda, debe estar en el\(y\) plano\(x\) -, porque tiene que ser ortogonal a\({\bf k}\). Así, podemos escribir lo\[\begin{aligned} {\bf k} &=(0,\,0,\,k),\\[0.5ex] {\bf d}_{if} &=(d_{if}\,\sin\theta,\,0,\,d_{if}\,\cos\theta),\\[0.5ex] \epsilon &= (\cos\phi,\, \sin\phi,\,0),\end{aligned}\] que implica que ahora\[|\epsilon\!\cdot\!{\bf d}_{if}|^{\,2} = d_{if}^{\,2}\,\sin^2\theta\,\cos^2\phi.\] debemos promediar la cantidad anterior sobre todos los valores posibles de\(\theta\) y\(\phi\). Así,\[\left\langle |\epsilon\!\cdot\!{\bf d}_{if}|^{\,2}\right\rangle_{av}= d^{\,2}_{if}\, \frac{\int\int\sin^2\theta\,\cos^2\phi\,d{\mit\Omega}}{4\pi},\] donde\(d{\mit\Omega} = \sin\theta\,d\theta\,d\phi\), y la integral se toma sobre todo ángulo sólido. Se demuestra fácilmente que\[\left\langle |\epsilon\!\cdot\!{\bf d}_{if}|^{\,2}\right\rangle_{av} = \frac{d_{if}^{\,2}}{3}.\] Aquí,\(d^{\,2}_{if}\) significa

\[\label{e3.106} d^{\,2}_{if} = |\langle f|e\,x|i\rangle|^{\,2}+|\langle f|e\,y|i\rangle|^{\,2}+ |\langle f|e\,z|i\rangle|^{\,2}.\]De ahí que las tasas de transición para absorción y emisión estimulada inducidas por radiación isotrópica no polarizada son\[\begin{aligned} \label{e13.107} w_{i\rightarrow f}^{abs} &= \frac{\pi}{3\,\epsilon_0\,\hbar^{\,2}}\,d^{\,2}_{if}\,\rho(\omega_{fi}),\\[0.5ex] w_{i\rightarrow f}^{stm} &= \frac{\pi}{3\,\epsilon_0\,\hbar^{\,2}}\,d^{\,2}_{if}\,\rho(\omega_{if}),\label{e13.108}\end{aligned}\] respectivamente.

Colaboradores y Atribuciones

• Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)