1.2: Mecánica Cuántica Temprana

Esto es solo una revisión rápida de las bases experimentales de la mecánica cuántica, y algunas de las formulaciones tempranas. No hace falta conocer los hechos históricos, por supuesto, pero vale la pena recordar algunos de los argumentos físicos, por ejemplo, la derivación de Bohr de la constante de Rydberg a partir de su átomo modelo.

¿Por qué necesitamos Mecánica Cuántica?

Hace poco más de 100 años, en la década de 1890, la física se veía en bastante buena forma. El hermoso desarrollo matemático de la mecánica de Newton, junto con una tecnología cada vez más sofisticada, predijeron los movimientos del sistema solar con una precisión increíble, aparte de una pequeña discrepancia en la órbita de Mercurio. Habían pasado menos de cien años desde que se dio cuenta de que una corriente eléctrica podía ejercer una fuerza sobre un imán, pero ese descubrimiento había llevado a centrales eléctricas, trenes eléctricos y una red de cables telegráficos a través de tierra y bajo los océanos. También habían pasado solo cien años desde que se había establecido que la luz era una onda, y solo cuarenta años desde que Maxwell se dio cuenta de que las ondas en una señal luminosa eran campos eléctricos y magnéticos, satisfaciendo una ecuación de onda pudo derivar puramente considerando el campo eléctrico y magnético fenómenos. En particular, pudo predecir la velocidad de la luz midiendo las fuerzas de atracción electrostáticas entre cargas y las fuerzas magnéticas entre corrientes.

Casi al mismo tiempo, en la década de 1860, Maxwell y Boltzmann dieron un relato brillante de las propiedades de los gases al suponer que estaban formados por moléculas débilmente interactuantes que volaban en un contenedor, rebotando en los costados, con una distribución estadística de energías para que la probabilidad de una molécula tener energía\(E\) era proporcional a\( e^{-E/kT} \),\(k\) siendo una constante universal conocida como la constante de Boltzmann. Boltzmann generalizó este resultado de una caja de gas a cualquier sistema. Por ejemplo, un sólido puede imaginarse clásicamente como una celosía de bolas (los átomos) conectadas por resortes, que pueden sostener oscilaciones de muchas maneras diferentes, cada uno de esos modos puede pensarse como un simple oscilador armónico, con aproximaciones razonables respecto a las propiedades de los resortes, etc. El trabajo de Boltzmann lleva a la conclusión de que cada uno de esos modos de oscilación, o grado de libertad, tendría a temperatura\(T\) energía promedio\(kT\), compuesta por energía\( \frac{1}{2} kT\) potencial, energía\( \frac{1}{2} kT\) cinética. ¡Observe que esta energía promedio es independiente de la fuerza de los resortes, o de las masas! Todos los modos de vibración, que vibrarán a ritmos muy diferentes, contienen la misma energía a la misma temperatura. A este reparto igualitario se le llama Equipartición de la Energía. No es difícil verificar esto para un oscilador armónico clásico unidimensional, promediando la energía integrando sobre todos los desplazamientos y momentos (independientemente) con el factor de ponderación\( e^{-E/kT} \) (que por supuesto necesita normalizarse). El resultado no depende de la constante de resorte o de la masa. El resultado de Boltzmann dio una excelente cuenta de los calores específicos de una amplia gama de materiales en un amplio rango de temperatura, pero hubo algunas excepciones, por ejemplo, gas hidrógeno a bajas temperaturas, e incluso sólidos a temperaturas suficientemente bajas. Aún así, generalmente se sintió que estos problemas podían manejarse dentro del marco existente, así como el comportamiento ligeramente extraño de Mercurio probablemente fue causado por un pequeño planeta, llamado Vulcano, más cercano al sol, y muy difícil de observar.

Radiación de cuerpo negro

Pero había un problema que era difícil de controlar, una violación aparentemente flagrante de la equipartición de energía. Considera un horno con un pequeño agujero en la puerta, a través del cual se observa la radiación en su interior. Este horno se puede calentar hasta que esté blanco caliente. La radiación en el interior es infrarroja a bajas temperaturas, convirtiéndose en luz visible a medida que aumenta la temperatura. Entonces, el horno está lleno de ondas electromagnéticas, satisfaciendo la ecuación de ondas de Maxwell, con condiciones límite en las paredes del horno, el campo eléctrico tiene que ser esencialmente cero allí, porque las paredes conducen corrientes. Por supuesto, la radiación se origina en cargas oscilantes en las paredes, utilizando el mismo análisis de las ecuaciones de Maxwell que le da a la radiación una antena. De todas formas, hay un conjunto de modos de onda estacionaria de vibraciones electromagnéticas dentro del horno, solo una versión tridimensional de la serie de modos permitidos de onda estacionaria de vibración de una cuerda fijada en ambos extremos. Entonces, deberíamos poder encontrar la densidad energética de estas ondas usando las mismas ideas que funcionaron bastante bien para los calores específicos de sólidos y gases, es decir, asumir que hay\(kT\) de energía en cada modo de vibración. (Esto es\( \frac{1}{2} kT \) de energía cinética,\( \frac{1}{2} kT \) de energía potencial para cada dirección independiente de vibración).

Pero, esto lleva al desastre. El problema es que hay infinitamente muchos modos de vibración del campo electromagnético en un horno. No hay límite superior para el número de meneos que la ola puede tener entre las paredes. Entonces, si tomamos\(kT\) en cada modo, deducimos que el horno contiene una cantidad infinita de energía, e irradia una cantidad infinita a través de nuestro pequeño agujero. Además, este análisis no da idea de por qué el color que vemos cambia con la temperatura. Evidentemente, la equipartición de energía no está funcionando en este caso. Solo hay una cantidad finita de energía en el horno y a bajas temperaturas no hay energía en absoluto en los modos correspondientes a la luz visible, aunque eso cambia a medida que las cosas se calientan.

En la década de 1890, los experimentalistas alemanes midieron la densidad de energía en función de la longitud de onda con gran precisión, se llama espectro de radiación de cuerpo negro. Un teórico, Planck, encontró una fórmula matemática que se ajustaba exactamente a esta curva,

\[ R_T(\nu) d\nu = \dfrac{8\pi h V \nu^3 df / c^3}{e^{h\nu/kT}-1} \tag{1.2.1}\]

Al principio no tenía ninguna justificación teórica para esta fórmula, pero fue un ajuste muy preciso a algunos experimentos muy precisos para un valor adecuado de la constante\(h\), que discutimos en un momento.

Factorizando el número de modos de oscilación en el rango de frecuencia\(d\nu\), la fórmula de Planck da la energía promedio por modo para ser

\[ \dfrac{h \nu}{e^{h\nu/kT}-1} \tag{1.2.2}\]

Para frecuencias bajas,\(h \nu << kT\), esto da correctamente\(kT\) por modo.

Pero, para frecuencias más altas es claro que los osciladores no están obteniendo su “parte justa”\(kT\) de energía. De alguna manera, las cargas oscilantes en las paredes no están irradiando tanta energía a las altas frecuencias. La única forma en que Planck podía derivar la fórmula teóricamente era haciendo una extraña suposición: asumió que las cargas oscilantes en las paredes no podían simplemente irradiar energía continuamente, como predecían las ecuaciones de Maxwell (y como se sabía que era cierto para las antenas ordinarias) sino que solo se permitían para irradiar energía en trozos que llamó cuantos. Además, la cantidad de energía en un cuántico dependía de la frecuencia de la oscilación, de hecho linealmente: para la frecuencia\(f\), el cuántico tiene energía\(hf\), donde\(h\) está la constante introducida en la fórmula anterior, ahora conocida como constante de Planck. De ello se deduce que los propios osciladores solo podrían estar oscilando con energías que forman una escalera con escalones\(hf\) separados, por encima de alguna energía más baja que sería su energía a temperatura cero absoluta.

La fórmula sigue si asumimos que el componente de campo oscilante en el horno que tiene frecuencia solo\(f\) puede tener un número entero de cuantos de energía, es decir, su energía debe ser una de:\(0, hf, 2hf, 3hf, …\) Si asumimos además que la probabilidad relativa de que tenga energía\(E\) es\( e^{-E/kT} \), entonces sus probabilidades relativas de tener energía\(0, hf, 2hf, …\) están en la relación 1\( e^{-hf/kT}) \)::\( e^{-2hf/kT} \), etc.

Las probabilidades reales se dan dividiendo estas probabilidades relativas por la suma de todas ellas. Claramente son los términos de una serie geométrica, por lo que su suma es justa\( 1/(1-e^{-hf/kT}) \). Entonces, para encontrar la energía promedio en el oscilador, tomamos las energías posibles\(0, hf, 2hf, 3hf, …\) y ponderamos cada una de ellas con su probabilidad de ocurrir, es decir, debemos encontrar\[0\cdot 1+hf\cdot e^{-hf/kT}+2hf\cdot e^{-2hf/kT}+..., \tag{1.2.3}\] y dividir la suma por\( 1/(1-e^{-hf/kT}) \).

Entonces, la suposición cuántica de Planck explica la curva de radiación de cuerpo negro observada. También da una explicación cualitativa del cambio de color de la luz irradiada a medida que aumenta la temperatura. Los osciladores en las paredes derivan su energía de las vibraciones térmicas de las moléculas vecinas: típicamente, tal vibración tiene energía de orden\(kT\), con probabilidades de que más energía baje como\( e^{-E/kT} \). Esto significa que si el oscilador potencialmente radiante solo puede absorber energías en cuantos\(hf\), si\(kT\) <<\(hf\), será muy poco probable que absorba alguna energía, y por lo tanto muy poco probable que radie. En el horno tridimensional, el número de oscilaciones de onda estacionaria en un rango de frecuencia pequeño\(\Delta f\) aumenta con\(f\)\(f^2\) lo que encontramos que la intensidad máxima de radiación se produce a una frecuencia\(f\) tal que\(hf\) es de orden\(kT\). Por lo tanto, a medida que aumenta la temperatura, aumenta la frecuencia a la que se produce la radiación más intensa, y de ahí que el color pase del rojo al azul.

El efecto fotoeléctrico

Si la luz brilla sobre ciertos metales, se emiten electrones. Este es el efecto fotoeléctrico. Si el metal está en el aire, los electrones rebotan en las moléculas de aire y casi con certeza se reabsorben rápidamente, pero si la superficie metálica está en vacío, los electrones pueden volar lejos, y en un tubo de vacío pueden ser recogidos por otra pieza de metal, y la luz puede hacer que fluya una corriente, el origen del célula fotoeléctrica.

En 1902, Lenard estudió cómo la energía de los fotoelectrones emitidos variaba con la intensidad de la luz. Utilizó una luz de arco de carbono, y podría aumentar la intensidad mil veces. Los electrones expulsados chocaron con otra placa metálica, el colector, que estaba conectado al cátodo por un cable con un amperímetro sensible, para medir la corriente producida por la iluminación. Para medir la energía de los electrones expulsados, Lenard cargó negativamente la placa colectora, para repeler a los electrones que llegaban hacia ella. Así, sólo los electrones expulsados con suficiente energía cinética para subir esta colina potencial contribuirían a la corriente. Lenard descubrió que había un voltaje mínimo bien definido que impidió que los electrones pasaran, lo llamaremos\(V_{stop}\). Para su sorpresa, encontró que ¡\(V_{stop}\)no dependía en absoluto de la intensidad de la luz! Al duplicar la intensidad de la luz se duplicó el número de electrones emitidos, pero no afectó las energías de los electrones emitidos. También descubrió, al utilizar luz de diferentes colores, que la máxima energía electrónica sí aumentaba a medida que aumentaba la frecuencia de la luz incidente.

Einstein sugiere una explicación

En 1905 Einstein dio una interpretación muy sencilla de los resultados de Lenard. Simplemente asumió que la radiación entrante debería pensarse como cuantos de frecuencia\(hf\), con\(f\) la frecuencia. En la fotoemisión, uno de esos cuánticos es absorbido por un electrón. Si el electrón está a cierta distancia en el material del cátodo, se perderá algo de energía a medida que se mueva hacia la superficie. Siempre habrá algún costo electrostático ya que el electrón sale de la superficie, esto suele llamarse la función de trabajo,\(W\). Los electrones más energéticos emitidos serán aquellos muy cercanos a la superficie, y dejarán el cátodo con energía cinética

\[ E=hf-W \tag{1.2.4} \]

Al arrancar el voltaje negativo en la placa colectora hasta que la corriente apenas se detiene, es decir\(V_{stop}\), para que los electrones de mayor energía cinética deben haber tenido energía\(eV_{stop}\) al salir del cátodo. Así,

\[ eV_{stop}=hf-W \tag{1.2.5} \]

Así, la teoría de Einstein hace una predicción cuantitativa muy definida: si la frecuencia de la luz incidente es variada, y\(V_{stop}\) trazada en función de la frecuencia, la pendiente de la línea debe ser\(h/e\). También es claro que existe una frecuencia de luz mínima para un metal dado, aquella para la cual el cuántico de energía es igual a la función de trabajo. La luz por debajo de esa frecuencia, no importa cuán brillante sea, no causará fotoemisión.

Los intentos de Millikan de desmentir la teoría de Einstein

Si aceptamos la teoría de Einstein, entonces, esta es una forma completamente diferente de medir la constante de Planck. El físico experimental estadounidense Robert Millikan, quien no aceptó la teoría de Einstein, que vio como un ataque a la teoría de las olas de la luz, trabajó durante diez años, hasta 1916, en el efecto fotoeléctrico, para refutar la teoría de Einstein. Incluso ideó técnicas para raspar limpiar las superficies metálicas dentro del tubo de vacío. Por todos sus esfuerzos encontró resultados decepcionantes (¡para él!) : confirmó la teoría de Einstein, midiendo la constante de Planck hacia dentro\(0.5\%\) por este método. Un consuelo fue que sí obtuvo un premio Nobel por esta serie de experimentos.

El punto a enfatizar es que el mismo valor para la constante de Planck,\(6.6 \times 10^{-34} \) Julio.seg, emerge de dos experimentos completamente diferentes: la medición de la radiación de cuerpo negro, y la medición de energías de electrones emitidos en el efecto fotoeléctrico. Esta es claramente una propiedad general de la radiación electromagnética, y es confirmada por muchos experimentos posteriores, por ejemplo la dispersión de Compton, en la que la luz dispersa los electrones. Al medir el cambio de energía y el cambio de impulso del electrón, se encuentra que se dispersó un solo cuántico de luz. (A energías muy altas, se pueden generar más partículas).

La naturaleza de la luz

Está firmemente establecido experimentalmente que la propagación de la luz está bien descrita por una ecuación de onda, que de hecho no es difícil de derivar de las ecuaciones de Maxwell:\[ \nabla^2 \vec E -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}=0 \tag{1.2.6}\]

Para una onda plana que se mueve en la dirección x, esto se reduce a

\[ \frac{\partial^2 \vec E}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} =0 \tag{1.2.7} \]

La solución monocromática a esta ecuación de onda tiene la forma

\[ \vec E (x,t)= \vec E_0 e^{i(kx-\omega t)} \tag{1.2.8} \]

(Otra posible solución es proporcional a\( cos(kx-\omega t) \). Encontraremos que la forma exponencial, aunque sea un número complejo, resulta más conveniente. El campo eléctrico físico puede ser tomado como la parte real de lo exponencial para el caso clásico.)

Aplicando el operador diferencial de ecuación de onda a nuestra solución de onda plana

\[ \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec E_0 e^{i(kx-\omega t)}= \left(k^2 -\frac{\omega^2}{c^2} \right) \vec E_0 e^{i(kx-\omega t)} =0 \tag{1.2.9} \]

Si la onda plana es una solución a la ecuación de onda, esto debe ser cierto para todos\(x\) y\(t\), así debemos tener\[ \omega =ck \tag{1.2.10}\]

Resolver esta ecuación para condiciones de límite como una antena puede ser bastante desafiante, pero todo lo que necesitamos considerar en este momento es alguna ilustración de difracción. Tomamos el caso de un experimento de doble rendija: si una onda plana se encuentra con una barrera con dos aberturas paralelas estrechas iguales, la onda transmitida que alcanza una pantalla a cierta distancia más adelante mostrará una serie de franjas brillantes y oscuras paralelas a las hendiduras. Este patrón puede ser contabilizado cuantitativamente. Las dos hendiduras transmiten radiación en fase entre sí. En cada punto de la pantalla, el vector de campo eléctrico de la hendidura 1 debe agregarse al vector de campo eléctrico de la hendidura 2. En un punto de la pantalla equidistante de las dos hendiduras, los vectores de campo eléctrico serán iguales. Alejándonos de ese punto en una dirección perpendicular a las hendiduras llegaremos a un punto en el que el campo de una hendidura esté exactamente desfasado con el campo de la otra rendija, la pantalla estará oscura.

De hecho, la intensidad si la luz en algún punto de la pantalla es proporcional a\( |E_0 |^2\).

Ahora considera lo que sucede a medida que hacemos que la luz sea más tenue y dimmer. ¿Qué tan fácil es ver este patrón de difracción? Eventualmente tenemos que llenar nuestro aparato de detección. Reemplazamos nuestra inspección de pantalla e inspección visual con una serie de fotodetectores. Experimentalmente, encontramos que, al igual que en el efecto fotoeléctrico, nuestros detectores sólo detectarán cuantos, así como si la luz estuviera compuesta por partículas, fotones. Supongamos que ahora atenuamos la luz para que nuestros fotodetectores sólo detecten un fotón por minuto que viene a través de las hendiduras. Si registramos dónde aterriza cada fotón, y construimos una imagen, encontramos el mismo patrón de franjas claras y oscuras que vimos con luz brillante.

Es decir, si enviamos a través de un fotón, no podemos predecir dónde aterrizará, pero si enviamos a través de mil, comenzaremos a discernir las franjas. Lo mejor que podemos hacer por un fotón es decir que probablemente aterrice donde la solución a la ecuación de onda de Maxwell le da un gran\( |E_0 |^2\). Es decir,\( |E_0 (x)|^2\) es proporcional a la probabilidad de que el fotón esté en\(x\).

¡Pero esto significa que cada fotón debe haber pasado por ambas hendiduras! La distribución de probabilidad para un solo fotón viene dada por las franjas, y la distancia entre las franjas depende de la distancia entre las hendiduras. El fotón, por lo tanto, sabe de ambas rendijas. Entonces la conclusión es: para encontrar dónde estará un fotón, resolver la ecuación de onda para encontrar el campo eléctrico en todas partes de la pantalla. La probabilidad del aterrizaje de fotones en cualquier punto en particular es proporcional a\( |E_0 |^2\) en ese punto.

Para ilustrar lo extraño que es esto realmente, considere un haz de fotones dividido en dos por medio espejo plateado, los dos medios haces siguen caminos ampliamente separados hasta que se reúnen por una secuencia adecuada de espejos para interferir entre sí. Al enviar un fotón a la vez, eventualmente construiremos un patrón de difracción de algún tipo. Entonces, si pensamos en el fotón inicial como un “paquete de ondas” se dividirá en dos medias “paquetes de onda” que finalmente interferirán entre sí. Ahora supongamos que pongo detectores de fotones\(100\%\) eficientes en ambos caminos. Si envío fotones a través del aparato uno a la vez, obtengo una serie de clics de los dos detectores: path 1 clicks, path 1 clicks again, path 2 clicks, etc.: una serie aleatoria. Nunca consigo ambos pinchando con un fotón. (Podemos atenuar la luz lo suficiente para que los fotones estén muy separados, es decir, definitivamente vienen uno a la vez). ¿Qué nos dice esto sobre la naturaleza de la funciónondulada?

Podrías estar inclinado a pensar que el fotón va al azar, la mitad del tiempo va por un camino, la mitad del tiempo el otro. Es decir, el fotón realmente está en uno de los caminos, simplemente no sabemos cuál hasta que lo detectamos, y la ondulación representa nuestra ignorancia. Sabemos que una vez que detectamos el fotón en un camino, no hay ninguna probabilidad de encontrarlo en el otro camino, ¡así que esa parte de la función de onda se ha ido! Pero, ¿realmente estaba ahí en primer lugar para ese fotón en particular? Sí: la otra mitad de paquete de ondas debió haber estado ahí, porque si no hubiera capturado el fotón con un detector en el camino, las dos medias funciones de onda habrían pasado a interferir con él para dar el patrón de difracción. Entonces esta línea de pensamiento está equivocada: no podemos decir que el fotón “realmente está” en uno de los dos caminos antes de que lo detectemos.

La naturaleza de la materia

Para la década de 1890 y principios de 1900, la mayoría de los científicos creían en la existencia de átomos. No todos —el distinguido químico alemán Ostwald no lo hizo, por ejemplo. Pero nadie tenía una imagen clara ni siquiera de un átomo de hidrógeno. El electrón acababa de ser descubierto, y se creía que el átomo de hidrógeno tenía un solo electrón. Se sugirió que tal vez el electrón iba en círculos alrededor de una carga central, pero nadie lo creía porque Maxwell había establecido que las cargas aceleradas irradian, por lo que se asumió que un electrón circulante perdería rápidamente energía, se enrollaría hacia el centro, y el átomo colapsaría. En cambio, se pensó que el átomo de hidrógeno (que por supuesto era eléctricamente neutro) era una bola de gelatina cargada positivamente con un electrón en su interior, que oscilaría cuando se calentaba, y emitiría radiación. Los cálculos aproximados, basados en el tamaño aceptado del átomo, sugirieron que la radiación estaría en el rango visible, pero nadie podría reproducir remotamente el espectro conocido de hidrógeno.

El gran avance se produjo en 1909, cuando Rutherford intentó mapear la distribución de la carga positiva en un átomo pesado (oro) dispersando partículas alfa de él. Para su asombro, encontró que la carga positiva estaba toda concentrada en un diminuto núcleo, con un radio del orden una diezmilésima el del átomo. Esto significó que después de todo los electrones debían ir en algún tipo de órbitas planetarias, y las ecuaciones de Maxwell la predicción de radiación no se aplicaron, así como no siempre se aplicaba en la radiación de cuerpo negro.

El átomo de Bohr

El teórico danés Niels Bohr estaba de visita en Manchester en el momento en que Rutherford hizo este experimento, y Bohr decidió que debía haber ciertos conjuntos permitidos de órbitas de electrones en el átomo donde no se producía la radiación de aceleración clásica: los llamó “estados estacionarios”. El estado estacionario de energía más baja sería el estado fundamental del átomo, los otros eventualmente irían a ese estado emitiendo fotones correspondientes a diferencias de energía entre estados.

Pero Bohr opinó que mirar los espectros muy complejos emitidos por los átomos calentados nunca sería útil; remarcó que sería como tratar de entender la biología fundamental estudiando los colores de las alas de mariposa.

Cambió de opinión en febrero de 1913, cuando una conversación casual con el espectroscopista H. R. Hansen reveló que un patrón había sido discernido en el aparente caos de las líneas espectrales. En particular, Hansen (un colega y ex compañero de clase de Bohr) le mostró la fórmula de Balmer para el hidrógeno. Balmer era profesor de matemáticas y latín en una escuela de niñas en Suiza, y había encontrado su fórmula en la década de 1880. La fórmula de Balmer es:

\[ \frac{1}{\lambda}=R_H \left(\frac{1}{4} -\frac{1}{n^2} \right) \tag{1.2.11} \]

para la secuencia de longitudes de onda de la luz emitida, con\(n = 3, 4, 5, 6\) estar en lo visible, las líneas utilizadas por Balmer para encontrar la fórmula. Hansen sin duda habría informado a Bohr que el\(1/4\) podría ser reemplazado por\(1/m^2\), con\(m\) otro entero. La constante que aparece en el lado derecho se llama la constante de Rydberg,\(R_H\) = 109,737 cm ^-1. (Este es el valor moderno: Balmer lo consiguió directamente en una parte en 10,000, sobre el límite de las mediciones espectrales en ese momento).

Bohr dijo más tarde: “Tan pronto como vi la fórmula de Balmer, todo me quedó claro de inmediato”. Lo que vio fue que el conjunto de frecuencias permitidas (proporcionales a longitudes de onda inversas) emitidas por el átomo de hidrógeno podían expresarse todas como diferencias. Esto inmediatamente le sugirió una generalización de su idea de un nivel de energía más bajo de “estado estacionario”, en el que el electrón no irradiaba. Debe haber toda una secuencia de estos estados estacionarios, teniendo lugar la radiación únicamente a medida que el átomo salta de uno a otro de menor energía, emitiendo un único cuántico de frecuencia\(f\) tal que\[ hf=E_n-E_m \tag{1.2.12}\] la diferencia entre las energías de los dos estados.

Evidentemente, a partir de la fórmula de Balmer y su extensión a enteros generales\(m\)\(n\),, estos permitieron órbitas no radiantes, los estados estacionarios, podrían etiquetarse 1, 2, 3,... ,\(n\),... y tenía energías

\[ E_n=-hcR_H/n^2 \tag{1.2.13} \]

usando\( \lambda f=c \) y la ecuación de Balmer anterior.

Las energías son, por supuesto, negativas, porque estos son estados unidos, y tomamos el cero de la energía para estar donde las dos partículas están en reposo infinitamente lejos.

Bohr estaba muy familiarizado con la dinámica de las órbitas circulares simples en un campo cuadrado inverso. Sabía que si la energía de la órbita era\( -hcR_H/n^2 \), eso significaba la energía cinética del electrón\( \frac{1}{2} mv^2=hcR_H/n^2 \),, y la energía potencial sería

\[ -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r_n} =-\frac{2hcR_H}{n^2} \tag{1.2.14} \]

Inmediatamente se deduce que el radio de la\(n^{th}\) órbita es proporcional a\(n^2\), y la velocidad en esa órbita es proporcional a\(1/n\).

Se deduce entonces que el momento angular de la \(n^{th}\)órbita es apenas proporcional a \(n\): y Bohr sabía que la constante de Planck, la base de la teoría cuántica tenía las dimensiones de momento angular!

Evidentemente, entonces fue el momento angular en la\(n^{th}\) órbita\(nKh\), donde\(h\) está la constante de Planck y\(K\) es algún factor multiplicador, lo mismo para todas las órbitas, aún por determinar.

De hecho, el valor de\(K\) se desprende de los resultados anteriores. \(R_H\),\(m\),\(h\), y\(c\) son todas cantidades conocidas (\(R_H\)siendo medidas experimentalmente observando las líneas en la serie Balmer) por lo que las fórmulas anteriores dan inmediatamente la velocidad del electrón y la distancia desde el núcleo en la\(n^{th}\) órbita, y de ahí su momento angular . Por lo tanto, al poner en estas cantidades determinadas experimentalmente, podemos encontrar\(K\).

Argumento Semiclásico de Bohr para Fijar el Cuántico del Momentum Angular

Sin embargo, Bohr encontró una forma teórica inteligente\(R_H\) de determinar a partir de su modelo: equiparando su predicción de la frecuencia emitida cuando un electrón va de una órbita a otra en un átomo muy grande con la predicción clásica, que sería solo la orbital frecuencia del electrón, cuántas veces por segundo da vueltas, dedujo\(K=1/2\pi \) y de eso la constante de Rydberg que apareció antes se da aquí en términos de\(h\),\(m\) y\(e\). El argumento bastante abstracto de que las predicciones cuánticas deben coincidir con los resultados clásicos conocidos para sistemas lentos grandes realmente fija la constante de Rydberg.

Su argumento va de la siguiente manera: para las órbitas circulares\[ \frac{mv^2}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{e^2}{r^2}\;\; so\;\; mv^2=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{e^2}{r},\;\; K.E.=-\frac{1}{2}P.E.,\;\; E=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{e^2}{2r}. \tag{1.2.15}\]

Con el momento angular cuantificado, para la\(n^{th}\) órbita:\[ mv_n r_n =nKh \tag{1.2.16} \]

donde\(h\) está la constante de Planck,\(n\) un entero,\(K\) el factor multiplicador desconocido (ok, arreglado por experimento, pero lo estamos encontrando de forma independiente).

A partir de esta condición de cuantificación podemos encontrar el radio, y por lo tanto la energía, de la\(n^{th}\) órbita:\[ -\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r_n} =mv_n^2 =m \left(\frac{nKh}{mr_n} \right)^2 \tag{1.2.17} \]

Dar\[ r_n=\frac{4\pi\varepsilon_0 n^2K^2h^2}{me^2} , \, E_n =-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{2r_n} =-\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \right)^2 \cdot \frac{me^4}{2K^2 h^2} \cdot \frac{1}{n^2} \tag{1.2.18}\]

En el gran\(n\) límite,\[ E_{n+1}-E_n \cong \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \right)^2 \cdot \frac{me^4}{2K^2 h^2} \cdot \frac{2}{n^3} =h\nu \tag{1.2.19} \]

entonces\[ \nu =\left(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \right)^2 \cdot \frac{me^4}{K^2 h^3 n^3} \tag{1.2.20} \]

donde\(\nu\) es la frecuencia del fotón emitido al saltar hacia abajo un número cuántico.

En el límite clásico de grande\(n\),\(\nu\) debe coincidir con la frecuencia orbital del electrón, ya que las ecuaciones de Maxwell serán válidas. Es decir,\[ \nu =\frac{v_n}{2\pi r_n} =\frac{nKh}{2\pi m r_n^2} = \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \right)^2 \cdot \frac{nKh}{2\pi m} \cdot \frac{m^2 e^4}{n^4 K^4 h^4} =\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \right)^2 \cdot \frac{m e^4}{2\pi n^3 K^3 h^3} \tag{1.2.21} \]

Comparando las dos expresiones, vemos que están de acuerdo si\(K=1/2\pi \)

Poner\(K=1/2\pi \) en la fórmula del nivel de energía,\[ E_n=-\left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\cdot\frac{me^4}{2K^2h^2}\cdot\frac{1}{n^2}=-\left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\cdot\frac{2\pi^2me^4}{h^2}\cdot\frac{1}{n^2}. \tag{1.2.22}\]

Ahora la constante de Rydberg se define por\[ E_n =-hcR_H/n^2 \tag{1.2.23} \]

por lo que el modelo de Bohr predice que\[ R_H =\left(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \right)^2 \cdot \frac{2\pi^2 me^4}{ch^3} \tag{1.2.24} \]

Se encontró que esta fórmula era correcta dentro de los límites del error experimental en la medición de las cantidades a la derecha.

Pero pocas personas creían su teoría. Por un lado, pronto se hizo evidente que en los espectros de algunas estrellas (en realidad incluyendo el sol) había líneas espectrales que aparentemente correspondían a la mitad del cuántico de momento angular. ¿Cómo podría ser eso?

La respuesta de Bohr fue que estas líneas deben ser de helio ionizado, no de hidrógeno. Un átomo de helio neutro tiene dos electrones, un átomo de helio solo ionizado tiene solo un electrón, pero el núcleo tiene una carga doble que la del núcleo de hidrógeno, por lo que el factor\(e^4\) en la constante de Rydberg es reemplazado por\(4e^4\), lo que conduce al resultado observado. Pero entonces un espectroscopista llamado Fowler hizo algunas mediciones muy precisas, y encontró que en realidad el\(R_H\) para estas nuevas líneas correspondía a un factor de 4.0016. ¿Cómo podría explicar eso Bohr?

Bohr señaló que a este nivel de precisión, se debe tomar en cuenta la masa finita del núcleo mediante el uso de una masa reducida para el electrón. Esto da el factor justo. Este resultado impresionó mucho a Einstein, quien concluyó que Bohr debe ir por buen camino.

observación: ¡el átomo de Bohr sigue siendo importante!

Aunque, como veremos en breve, el análisis semiclásico de Bohr ha sido reemplazado durante mucho tiempo por la función de onda de Schrödinger, hay experimentos recientes en física atómica donde el enfoque clásico proporciona una valiosa visión. En particular, los llamados átomos de Rydberg, que son átomos con un electrón en una órbita espacialmente grande (grande\(n\), débilmente ligada), actúan mucho como los sistemas clásicos. Tales átomos pueden ser ionizados por campos de microondas. Para un rango considerable de parámetros, el inicio de esta ionización se puede explicar ignorando por completo la mecánica cuántica, ¡e interpretando la ionización como el inicio del movimiento caótico en el sistema impulsado clásico! (Y, los métodos teóricos de perturbación estándar de la mecánica cuántica no funcionan para este sistema de todos modos, porque el perturbador campo eléctrico de microondas es del mismo orden de magnitud que el campo eléctrico del átomo en estas grandes órbitas.) Cabe mencionar que, de manera contraintuitiva, la mecánica cuántica vuelve a ser importante a gran escala\(n\) (o alta frecuencia de microondas), donde algunos trucos de la física de la materia condensada se han utilizado con éxito para interpretar los experimentos. Este es un tema rico: ocurren fenómenos cualitativamente diferentes a medida que se varía la relación entre la frecuencia de microondas y la frecuencia orbital.

El príncipe Luis de Broglie obtiene su doctorado.

El siguiente avance real en la comprensión del átomo vino de un improbable cuarto: un príncipe estudiante en París. El príncipe Luis de Broglie era miembro de una familia ilustre, prominente en la política y el ejército desde los años 1600. Louis comenzó sus estudios universitarios con historia, pero su hermano mayor Maurice estudió rayos X en su propio laboratorio, y Louis se interesó por la física. Trabajó con la muy nueva radiotelegrafía durante la guerra.

Después de la guerra, de Broglie centró su atención en los dos grandes logros de Einstein, la teoría de la relatividad especial y la cuantificación de las ondas de luz. Se preguntó si podría haber alguna conexión entre ellos. Quizás el cuántico de la radiación realmente debería pensarse como una partícula. Se sabía desde hacía mucho tiempo que las ondas de luz llevan impulso: esto se demuestra de manera famosa por el “radiómetro”, un pequeño “molino de viento” al vacío, con paletas plateadas en un lado y ennegrecidas por el otro. Si el vacío es bueno, el radiómetro comienza a girar cuando se expone a la luz porque la luz que rebota en el lado plateado entrega el doble de impulso de la luz absorbida por el lado ennegrecido. (Cabe agregar que las versiones baratas de este dispositivo tienen poca vacua, y el gas calentado cerca del lado ennegrecido tiende a empujar las paletas de manera incorrecta).

De hecho, de las ecuaciones de Maxwell se deduce que la densidad de impulso de un haz de luz está relacionada con su densidad de energía por\(E = cp\). Por lo tanto, esperaríamos que esta misma relación energía-impulso sea cierta para los fotones de los que está compuesto el haz de luz. Ahora bien, a partir de la relatividad especial sabemos que todas las partículas tienen una relación energía-impulso\(E^2= m_0^2 c^4 +c^2 p^2\), donde\(m_0\) está el resto de la masa de la partícula. La única forma en que esto puede ser el mismo que\(E = cp\) es si\(m_0 = 0\), o, al menos, si\(m_0\) es tan pequeño que todas nuestras observaciones son sobre partículas que tienen energía cinética hasta el momento en exceso de su energía de reposo que la pequeña masa no es detectable. De Broglie sospechaba que el fotón sí tenía una masa de reposo muy pequeña distinta de cero, por lo que si se pudiera medir la velocidad de un cuántico de energía suficientemente baja, se encontraría que era menor que\(c\). En este punto se equivocó (¡hasta donde sabemos!) Sin embargo, fue un avance conceptual muy valioso pensar en el cuántico de la radiación como una partícula, sabiendo muy bien que la radiación es una onda. De hecho, su idea incorrecta de que el fotón (como ahora llamamos el cuántico de la luz) tenía una masa de reposo lo llevó a analizar la relación entre las propiedades de las partículas y las propiedades de la onda transformándose al marco de descanso del fotón, y descubrió que la energía y el impulso de la partícula estaban relacionados con el frecuencia y longitud de onda de la onda por:\[ E=hf \; , \; p=h/\lambda \tag{1.2.25}\]

Por supuesto, la primera condición es la cuantificación de Planck-Einstein, y la segunda se sigue trivialmente de ella si tomamos\(E = cp\) y\(\lambda f=c\). Pero de Broglie demostró que era más generalmente cierto, funcionó aunque el fotón tuviera una masa de reposo.

Habiendo decidido que el fotón bien podría ser una partícula con una masa de reposo, aunque muy pequeña, se dio cuenta en de Broglie que en otros aspectos podría no ser muy diferente de otras partículas, especialmente el electrón muy ligero. En particular, tal vez el electrón también tenía una onda asociada. La objeción obvia era que si el electrón era como onda, ¿por qué no se habían observado efectos de difracción o interferencia? Pero había una respuesta. Si la relación de Broglie entre el impulso y la longitud de onda,\(p=h/\lambda\) también se mantenía para los electrones, la longitud de onda era lo suficientemente corta como para que estos efectos fueran fáciles de perder. Como señaló el propio de Broglie, la naturaleza ondulada de la luz no es muy evidente en la vida cotidiana, ni en el trazado de rayos en la óptica geométrica. Sospechaba que la naturaleza aparentemente pura de partículas de las trayectorias electrónicas era análoga a la aparente propagación en línea recta de los rayos de luz, sobre escalas de distancia mucho mayores que la longitud de onda.

Sin embargo, las propiedades onduladas deberían ser importantes a escala atómica. No se había avanzado en una década en entender por qué las órbitas electrónicas en el átomo de Bohr estaban restringidas a valores integrales del momento angular en unidades de\(h\). Pero si el electrón fuera en algún sentido una onda, sería muy natural restringir las órbitas a las de las ondas estacionarias, pues de lo contrario la onda de electrones al girar alrededor de la órbita interferiría destructivamente consigo misma.

Supongamos ahora que el electrón\(p\), teniendo impulso, se mueve en una órbita circular de radio\(r\). Entonces para una onda estacionaria, un número entero de longitudes de onda debe caber alrededor del círculo, así que para algún número entero\(n\),\(n\lambda =2\pi r\). Armando esto con\(p=h/\lambda\) nosotros encontramos:\[ 2\pi r=n\lambda =nh/p \tag{1.2.26}\]

entonces\[ L=pr=nh/2\pi \tag{1.2.27} \]

¡La condición de “onda estacionaria” inmediatamente le da a Bohr la cuantificación del momento angular!

Esta fue la tesis de doctorado del príncipe, presentada en 1924. Su asesor de tesis estaba algo desconcertado, y no estaba seguro de si se trataba de un trabajo sólido. Pidió de Broglie una copia extra de la tesis, que envió a Einstein. Einstein escribió poco después: “Creo que es un primer rayo de luz débil sobre este peor de nuestros enigmas físicos”. El príncipe obtuvo su doctorado.

Un accidente en la compañía telefónica hace que todo quede claro

Hubo un accidente en los Laboratorios Bell Telephone en abril de 1925. Clinton Davisson y L. H. Germer, buscando formas de mejorar los tubos de vacío, estaban observando cómo los electrones de un cañón de electrones en un tubo de vacío se dispersaban por una superficie plana de níquel. De pronto, mientras el experimento estaba en marcha y el objetivo de níquel estaba muy caliente, una botella de aire líquido cerca del aparato explotó, rompiendo una de las tuberías de vacío, y el aire se precipitó hacia el aparato. El blanco de níquel caliente se oxidó inmediatamente. La capa de óxido hizo que su objetivo fuera inútil para futuras investigaciones. Decidieron limpiar el óxido calentando el níquel en una atmósfera de hidrógeno y luego en vacío. Después de hacer esto por un periodo prolongado, el níquel se veía bien, y reanudaron la investigación.

Para su asombro, el patrón de dispersión de electrones del objetivo de níquel recién limpiado era completamente diferente al anterior al accidente. ¿Qué había cambiado? Al examinar cuidadosamente su cristal recién limpiado, encontraron una pista. El objetivo original era policristalino, compuesto por una multitud de pequeños cristales, orientados aleatoriamente. Durante el calentamiento prolongado del proceso de limpieza, el níquel se había vuelto a cristalizar en unos pocos cristales grandes.

Para citar de su artículo: “A partir de estos resultados nos pareció probable que la intensidad de la dispersión de un solo cristal mostrara una marcada dependencia de la dirección del cristal, y nos pusimos a preparar de inmediato experimentos para una investigación de esta dependencia. Debemos admitir que los resultados obtenidos en estos experimentos han demostrado ser bastante divergentes con nuestras expectativas. Parecía probable que se encontraran haces fuertes emitiendo del cristal a lo largo de lo que se puede denominar sus direcciones transparentes, las direcciones en las que los átomos en la red están dispuestos a lo largo del menor número de líneas por unidad de área. De hecho, se encuentran fuertes haces emitiendo del cristal, pero solo cuando la velocidad del bombardeo se encuentra cerca de uno u otro de una serie de valores críticos, y luego en direcciones bastante ajenas a la transparencia cristalina.

“La característica más llamativa de estos haces es una correspondencia uno a uno... que el más fuerte de ellos lleva a los haces Laue que se encontrarían emitiendo del mismo cristal si el haz incidente fuera un haz de rayos x. Algunos otros parecen ser análogos... de haces de difracción óptica de rejillas de reflexión plana—siendo las líneas de estas rejillas líneas o filas de átomos en la superficie del cristal. Debido a estas similitudes... una descripción... en términos de una radiación de onda equivalente... no sólo es posible, sino de lo más simple y natural. Esto implica la asociación de una longitud de onda con el haz de electrones incidente, y esta longitud de onda resulta ser aceptable de acuerdo con el valor\(h/mv\) de la mecánica ondulatoria, constante de acción de Planck dividida por el impulso del electrón.

“Esa evidencia de la naturaleza de onda de la mecánica de partículas se encontraría en la reacción entre un haz de electrones y un solo cristal fue predicha por Elsasser hace dos años, poco después de la aparición de los documentos originales de L. de Broglie sobre mecánica de ondas”.

Las citas anteriores son de Physical Review 30, 705 (1927).

Cabe agregar que el patrón de difracción de dos hendiduras es, por supuesto, exhibido por un haz de electrones, se ha observado experimentalmente muchas veces, y tiene precisamente la misma forma que para la luz. Los electrones y los fotones generan patrones de interferencia que son idénticos, ¡aunque la longitud de onda corta de los electrones utilizados presenta un desafío! Una doble rendija utilizada por C. Jönsson en 1961 consistió en hendiduras de 0.5 micras de ancho 1-2 micras separadas en lámina de cobre. Véase D. Brandt y S Hirschi, Am. J. Phys. 42, 5 (1974). (Esta referencia del francés y de Taylor Introducción a la Física Cuántica.)

Colaborador

• Michael Fowler (Beams Professor, Department of Physics, University of Virginia)