1.5: Electrón en una Caja

Soluciones de Ondas Planas

La mejor manera de comprender la ecuación de Schrödinger es resolverla para diversos potenciales. El más simple es un problema unidimensional de “partícula en una caja”. El potencial apropiado es\(V(x) = 0\) para\(x\) entre 0,\(L\) y\(V(x) = \infty\) de otra manera, es decir, hay paredes infinitamente altas en\(x = 0\) y\(x = L\), y la partícula queda atrapada entre ellas. Esto resulta ser una aproximación bastante buena para los electrones en una molécula larga, y la versión tridimensional es una imagen razonable para los electrones en los metales.

Entre\(x = 0\) y\(x = L\) tenemos\(V = 0\), así que la ecuación de onda es solo

\[ i\hbar \dfrac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} =-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \psi (x,t)}{\partial x^2}. \tag{1.5.1} \]

Una posible solución de onda plana es

\[ \psi (x,t) =Ae^{\dfrac{i}{\hbar}(px-Et)}. \tag{1.5.2} \]

Al insertar esto en la ecuación de Schrödinger de potencial cero arriba encontramos\(E=p^2/2m\), como esperamos.

¡Es muy importante notar que el conjugado complejo, proporcional a\(e^{\dfrac{i}{\hbar}(px-Et)}\), no es una solución a la ecuación de Schrödinger! Si lo ponemos ciegamente en la ecuación obtenemos

\[E=\dfrac{-p^2}{2m}\]

Sin embargo, este es un resultado poco físico.

Sin embargo, una función de onda proporcional a\(e^{-\dfrac{i}{\hbar}(px-Et)}\) da\(E=p^2/2m\), por lo que esta onda plana es una solución a la ecuación.

Por lo tanto, las dos soluciones de onda plana permitidas para la ecuación de Schrödinger de potencial cero son proporcionales a\(e^{\dfrac{i}{\hbar}(px-Et)}\) y\(e^{-\dfrac{i}{\hbar}(px-Et)}\) respectivamente.

Tenga en cuenta que estas dos soluciones tienen la misma dependencia del tiempo\(e^{-\dfrac{iEt}{\hbar}}\).

Para decidir la solución adecuada a nuestro problema de un electrón en una caja, claro que tenemos que traer las paredes, lo que significan es eso\(\psi=0\) para\(x < 0\) y para\(x > L\) porque recordar nos\(|\psi|^2\) dice la probabilidad de encontrar la partícula en cualquier lugar, y, como está en la caja, es atrapado entre las paredes, así que no hay ninguna probabilidad de encontrarlo afuera.

La condición\(\psi=0\) en\(x = 0\) y nos\(x = L\) recuerda a la cuerda vibratoria con dos extremos fijos: la solución de la ecuación de onda de cuerda son ondas estacionarias de forma sinusoidal. De hecho, tomar la diferencia de las dos formas de onda plana permitidas arriba da una solución de este tipo:

\[ \psi(x,t)=A\sin \dfrac{px}{\hbar}e^{-\dfrac{iEt}{\hbar}} \tag{1.5.3} \].

Esta función de onda satisface la ecuación de Schrödinger entre las paredes, se desvanece en la\(x = 0\) pared, también se desvanecerá\(x = L\) siempre que la variable de impulso satisfaga:

\[ \dfrac{pL}{\hbar}=\pi, \, 2\pi, \, 3\pi... \tag{1.5.4} \]

Así, los valores permitidos de\(p\) son\(hn/2L\)\(n = 1, 2, 3…\), dónde y a partir de\(E=p^2/2m\) los niveles de energía permitidos de la partícula son:

\[ E=\dfrac{p^2}{2m}=\dfrac{1}{2m}\left(\dfrac{h}{2L}\right)^2 \, ,\; \dfrac{4}{2m}\left(\dfrac{h}{2L}\right)^2 \, ,\; \dfrac{9}{2m}\left(\dfrac{h}{2L}\right)^2 \, ,... \tag{1.5.5} \]

Tenga en cuenta que estos niveles de energía se vuelven cada vez más espaciados a altas energías, en contraste con el potencial de átomos de hidrógeno. (Como veremos, el potencial del oscilador armónico da niveles de energía igualmente espaciados, por lo que al estudiar cómo varía el espaciamiento de los niveles de energía con la energía, podemos aprender algo sobre la forma del potencial).

¿Qué pasa con la constante multiplicativa general\(A\) en la función de onda? Esto puede ser real o complejo. Para encontrar su valor, tenga en cuenta que en un tiempo fijo, digamos\(t = 0\), la probabilidad de que el electrón esté entre\(x\) y\(x + dx\) es\(|\psi|^2dx\) o

\[ |A|^2\sin^2 \dfrac{px}{\hbar}dx \tag{1.5.6} \]

La probabilidad total de que la partícula esté en algún lugar entre 0,\(L\) debe ser la unidad:

\[ |\psi|^2dx\]

o

\[ \int\limits_{x=0}^{x=L} |A|^2\sin^2 \dfrac{px}{\hbar}dx=1, \: so\: \dfrac{1}{2}L|A|^2=1 \tag{1.5.7} \]

De ahí

\[ \psi(x,t)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin \dfrac{px}{\hbar}e^{-\dfrac{iEt}{\hbar}} \tag{1.5.8} \]

Cuando\(A\) se fija de esta manera, al exigir que la probabilidad total de encontrar la partícula en algún lugar sea unidad, se le llama la constante de normalización.

Estados estacionarios

Observe que en un momento posterior la distribución de probabilidad para la función de onda\[ \psi(x,t)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{px}{\hbar}e^{-\frac{iEt}{\hbar}} \tag{1.5.9} \]

es lo mismo, porque el tiempo sólo aparece como factor de fase en esta función dependiente del tiempo, y así no afecta\(|\psi|^2\).

Un estado con una distribución de probabilidad independiente del tiempo se denomina estado estacionario.

Estados con distribuciones de probabilidad móvil

Recordemos que la ecuación de Schrödinger es una ecuación lineal, y la suma de dos soluciones cualesquiera es también una solución a la ecuación. Eso significa que podemos agregar dos soluciones que tengan energías diferentes, y aún así tener una función de onda legal. Estableceremos que en este caso, la distribución de probabilidad varía en el tiempo.

La forma más sencilla de ver cómo debe ser esto es mirar un ejemplo. Agreguemos el estado fundamental al primer estado excitado y normalicemos la suma:\[ \psi(x,t)=\sqrt{\frac{1}{L}} \left( \sin\frac{\pi x}{L}e^{-\frac{i\pi ht}{4mL^2}}+\sin\frac{2\pi x}{L}e^{-\frac{i\pi ht}{mL^2}} \right) \tag{1.5.10} \]

\[ note: \; h, \; not \; \hbar. \]

(Puede verificar la constante de normalización en\(t=0\)). Por lo general\(x\), los dos términos en el paréntesis rotan en el plano complejo a diferentes velocidades, por lo que su suma tiene una magnitud variable en el tiempo. Es decir,\(|\psi(x,t)|^2\) varía en el tiempo, por lo que la partícula debe estar moviéndose alrededor, este no es un estado estacionario.

Ejercicio: Para ver esto, tenga en cuenta que en\(t=0\) la función de onda se encuentra:\[ \psi(x,0)=\sqrt{\frac{1}{L}} \left( \sin\frac{\pi x}{L}+\sin\frac{2\pi x}{L} \right) \tag{1.5.11} \]

y esbozar esta función: es más probable que la partícula se encuentre en la mitad izquierda de la caja.

Ahora, supongamos que es el momento\(t=4mL^2/h\), entonces\(e^{-\frac{i\pi ht}{4mL^2}}=-1\). En este momento,\[ \psi(x,2L^2/h)=\sqrt{\frac{1}{L}} \left( -\sin\frac{\pi x}{L}+\sin\frac{2\pi x}{L} \right) \tag{1.5.11} \]

y es fácil ver que es más probable que la partícula se encuentre en la mitad derecha.

Es decir, esta función de onda, una suma lineal de funciones de onda correspondientes a diferentes energías, tiene una distribución de probabilidad que se desplaza hacia adelante y hacia atrás en la caja: y, cualquier intento de describir un movimiento de partículas de tipo clásico, rebotando de un lado a otro, implica necesariamente agregar cuántica funciones de onda de diferentes energías. Tenga en cuenta que la frecuencia del movimiento chapoteante depende de la diferencia de las dos energías: cuán constructivamente interfieran los dos componentes depende de la diferencia de las fases en las energías en ese momento. Una sola función de onda de energía siempre tiene una distribución de probabilidad estática.

Por supuesto, la probabilidad total de encontrar la partícula en algún lugar de la caja sigue siendo la unidad: la constante de normalización es independiente del tiempo.

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: estados propios y valores propios

La única manera de evitar\(|\psi(x,t)|^2\) variar en el tiempo es tener todas sus partes cambiando de fase en el tiempo a la misma velocidad. Esto significa que todos corresponden a la misma energía. Si restringimos nuestras consideraciones a tales estados estacionarios, la función de onda se puede factorizar\[ \psi(x,t)=\psi(x)e^{-\frac{iEt}{\hbar}} \tag{1.5.12} \]

y poniendo esta función de onda en la ecuación de Schrödinger encontramos\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} +V(x)\psi(x)=E\psi(x) \tag{1.5.13} \]

Esta es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, y sus soluciones son las funciones de onda espacial para estados estacionarios, estados de energía definida. Estos a menudo se denominan estados propios de la ecuación.

Los valores de energía correspondientes a estos autoestados se denominan valores propios.

Un punto importante: ¿qué sucede exactamente en la pared?

Considere nuevamente la función de onda para el estado de energía más bajo de una partícula confinada entre paredes en\(x=0\) y\(x=L\). El lector debe bosquejar la función de onda desde algún punto a la izquierda de\(x=0\) más a la derecha de\(x=L\). A la izquierda de\(x=0\), la función de onda es exactamente cero, luego en\(x=0\) ella despega hacia la derecha (dentro de la caja) como una curva sinusoidal. Es decir, en el origen la pendiente de la función ondulada\(\psi\) es cero a la izquierda, distinta de cero a la derecha. Hay una discontinuidad en la pendiente en el origen: esto significa que la segunda derivada de\ (\ psi\) es infinita en el origen. Al examinar la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo anterior, vemos que la ecuación solo puede satisfacerse en el origen porque el potencial se vuelve infinito allí, la pared es un potencial infinito. (Y, de hecho, dado que\(\psi\) se convierte en cero al acercarse al origen desde el interior de la caja, el límite debe ser tratado con cuidado).

Ahora se hace evidente que si la caja no tiene paredes infinitas, sino meramente altas,\(\psi\) describir una partícula confinada no puede pasar repentinamente a cero en las paredes: la segunda derivada debe permanecer finita. Para muros no infinitos,\(\psi\) y su derivada debe ser continua al entrar en la pared. Esto tiene la importante consecuencia física de que\(\psi\) será distinta de cero al menos por alguna distancia dentro de la pared, aunque clásicamente la partícula confinada no tenga suficiente energía para “trepar al muro”. (Que no lo hace, si está confinado.) Así, en la mecánica cuántica, existe una probabilidad de no fuga de encontrar la partícula en una región que está “clásicamente prohibida” en el sentido de que no tiene suficiente energía para llegar allí.

Colaborador

• Michael Fowler (Beams Professor, Department of Physics, University of Virginia)