4.1: Álgebra de operador de momento angular

Preliminares: Operadores de traslación y

Como calentamiento para analizar cómo se transforma una función de onda bajo rotación, revisamos el efecto de la traslación lineal en una función de onda de partícula única\(\psi(x)\). Ya hemos visto un ejemplo de esto: los estados coherentes de un simple oscilador armónico discutido anteriormente eran (at\(t=0\)) idénticos al estado fundamental salvo que estaban centrados en algún punto desplazados del origen. De hecho, el operador que crea dicho estado a partir del estado fundamental es un operador de traducción.

El operador de traslación\(T(a)\) se define en aquel operador que cuando actúa sobre una función de onda ket\(|\psi(x)\rangle\) da el ket correspondiente a esa función de onda desplazada por\(a\), es decir,

\[ T(a)|\psi(x)\rangle =|\psi(x-a)\rangle , \label{4.1.1}\]

así, por ejemplo, si\(\psi(x)\) es una función de onda centrada en el origen, la\(T(a)\) mueve para que quede centrada en el punto\(a\).

Hemos escrito la función de onda como ket aquí para enfatizar los paralelismos entre esta operación y algunas posteriores, pero es más sencillo en este punto simplemente trabajar con la función de onda como una función, así que dejaremos caer el soporte ket por ahora. La forma de\(T(a)\) como operador en una función se hace evidente al reescribir la serie Taylor en forma de operador:

\[ \psi(x-a)=\psi(x)-a\dfrac{d}{dx}\psi(x)+\dfrac{a^2}{2!}\dfrac{d^2}{dx^2}\psi(x)-\dots =e^{-a\dfrac{d}{dx}}\psi(x)=T(a)\psi(x). \label{4.1.2}\]

Ahora para la conexión cuántica: el operador diferencial que aparece en el exponencial es en mecánica cuántica proporcional al operador de impulso (\(\hat{p}=-i\hbar d/dx\)) por lo que el operador de traslación

\[ T(a)=e^{-ia\hat{p}/\hbar} . \label{4.1.3}\]

Un caso especial importante es el de una traducción infinitesimal,

\[ T(\varepsilon)=e^{-i\varepsilon\hat{p}/\hbar} =1-i\varepsilon\hat{p}/\hbar . \label{4.1.4}\]

Se dice que el operador de impulso\(\hat{p}\) es el generador de la traslación.

Shankar escribe (página 281)\(T(\varepsilon)|x\rangle =|x+\varepsilon\rangle\). Here \(|x\rangle\) denotes a delta-function type wave function centered at \(x\). It might be better if he had written \(T(\varepsilon)|x_0\rangle =|x_0+\varepsilon\rangle\), then we would see right away that this translates into the wave function transformation \(T(\varepsilon)\delta (x-x_0)=\delta (x-x_0-\varepsilon )\), the sign of \(\varepsilon\) now obviously consistent with our usage above.)

Es importante tener claro si el sistema está siendo traducido por\(a\), como lo hemos hecho anteriormente o si, alternativamente, los ejes de coordenadas están siendo traducidos por\(a\), esto último resultaría en el cambio opuesto en la función de onda. Traducir los ejes de coordenadas, junto con el aparato y cualquier campo externo en\(-a\) relación con la función de onda, por supuesto, daría la misma física que traducir la función de onda por\(+a\). De hecho, estas dos operaciones equivalentes son análogas al desarrollo temporal de una función de onda que se describe ya sea por una imagen de Schrödinger, en la que los sujetadores y kets cambian en el tiempo, pero no los operadores, y el cuadro de Heisenberg en el que se desarrollan los operadores pero los sostenes y los kets no cambian. Para continuar con esta analogía un poco más, en el caso “Heisenberg”

\[ \hat{x}\to T^{-1}(\varepsilon)\hat{x}T(\varepsilon)=e^{i\varepsilon\hat{p}/\hbar} \hat{x}e^{-i\varepsilon\hat{p}/\hbar} =\hat{x}+i\varepsilon [\hat{p},\hat{x}]/\hbar =\hat{x}+\varepsilon \label{4.1.5}\]

y\(\hat{p}\) no ha cambiado ya que se desplaza con el operador. Entonces, hay dos formas posibles de lidiar con las traducciones: transformar los sujetadores y kets, o transformar a los operadores. Casi siempre dejaremos solos a los operadores, y transformaremos los sostenes y kets.

Hemos establecido que el operador momentum es el generador de traducciones espaciales (la generalización a tres dimensiones es trivial). Sabemos por trabajos anteriores que el hamiltoniano es el generador de traducciones de tiempo, con lo que queremos decir

\[ \psi(t+a)=e^{-iHa/\hbar} \psi(t). \label{4.1.6}\]

Es tentador concluir que el momento angular debe ser el operador que genera rotaciones del sistema, y, de hecho, es fácil verificar que esto sea correcto. Consideremos una rotación infinitesimal\(\delta\vec{\theta}\) alrededor de algún eje a través del origen (estando el vector infinitesimal en la dirección del eje). Una función de onda\(\psi(\vec{r})\) inicialmente localizada a\(\vec{r_0}\) voluntad se desplazará para localizarse en\(\vec{r_0}+\delta\vec{r_0}\), donde\(\delta\vec{r_0}=\delta\vec{\theta}\times \vec{r_0}\). Entonces, ¿cómo se transforma una función de onda bajo esta pequeña rotación? Al igual que para el caso de traducción,\(\psi(\vec{r})\to \psi(\vec{r}-\delta\vec{r})\). Si no entiendes el signo menos, vuelve a leer la discusión sobre las traducciones y el signo de\(\varepsilon\).

Así

\[ \psi(\vec{r})\to \psi(\vec{r})-\dfrac{i}{\hbar}\delta\vec{r}.\hat{\vec{p}}\psi(\vec{r}) \label{4.1.7}\]

a primer orden en la cantidad infinitesimal, por lo que el operador de rotación

\[ R(\delta\vec{\theta})\psi(\vec{r})=(1-\dfrac{i}{\hbar}\delta\vec{\theta}\times \vec{r}.\hat{\vec{p}})\psi(\vec{r})=(1-\dfrac{i}{\hbar}\delta\vec{\theta}.\vec{r}\times \hat{\vec{p}})\psi(\vec{r})=(1-\dfrac{i}{\hbar}\delta\vec{\theta}.\hat{\vec{L}})\psi(\vec{r}). \label{4.1.8}\]

Si escribimos esto como

\[ R(\delta\vec{\theta})\psi(\vec{r})=e^{-\dfrac{i}{\hbar}\delta\vec{\theta}.\hat{\vec{L}}}\psi(\vec{r}) \label{4.1.9}\]

es claro que se da una rotación finita multiplicando juntos un gran número de estos operadores, lo que apenas equivale a sustituir\(\delta\vec{\theta}\) por\(\vec{\theta}\) en el exponencial. Otra forma de pasar de la rotación infinitesimal a una rotación completa es usar la identidad

\[ \lim_{N\to\infty}(1+\dfrac{A\theta}{N})^N=e^{A\theta} \label{4.1.10}\]

lo cual es claramente válido aunque\(A\) sea un operador.

Por lo tanto, hemos establecido que el operador de momento angular orbital\(\hat{\vec{L}}\) es el generador de rotaciones espaciales, con lo que queremos decir que si giramos nuestro aparato, y la función de onda con él, la función de onda apropiadamente transformada se genera por la acción de\(R(\vec{\theta})\) sobre la onda original función. Quizás valga la pena dar un ejemplo explícito: supongamos que giramos el sistema, y por lo tanto la función de onda, a través de un ángulo infinitesimal\(\delta\theta_z\) alrededor del eje z. Denote la función de onda girada por\(\psi_{rot}(x,y)\). Entonces

\[ \psi_{rot}(x,y)=(1-\dfrac{i}{\hbar}(\delta\theta_z)\hat{L_z})\psi(x,y)=(1-\dfrac{i}{\hbar}(\delta\theta_z)(-i\hbar (x\dfrac{d}{dy}-y\dfrac{d}{dx})))\psi(x,y)=(1-(\delta\theta_z)(x\dfrac{d}{dy}-y\dfrac{d}{dx}))\psi(x,y)=\psi(x+(\delta\theta_z)y, y-(\delta\theta_z)x). \label{4.1.11}\]

Es decir, el valor de la función de nueva onda at\((x,y)\) es el valor de la función de onda antigua en el punto en el que se giró\((x,y)\).

Generalización Cuántica del Operador de Rotación

Sin embargo, desde hace tiempo se sabe que en la mecánica cuántica, el momento angular orbital no es toda la historia. Se encuentra experimentalmente que partículas como el electrón tienen un momento angular interno, llamado espín. En contraste con el giro de un objeto macroscópico ordinario como una peonza, el espín del electrón no es solo la suma de los momentos angulares orbitales de las partes internas, y cualquier intento de entenderlo de esa manera conduce a contradicciones.

Para tener en cuenta este nuevo tipo de momento angular, generalizamos el momento angular orbital\(\hat{\vec{L}}\) a un operador\(\hat{\vec{J}}\) que se define como el generador de rotaciones en cualquier función de onda, incluyendo posibles componentes de giro, por lo que

\[ R(\delta \vec{\theta})\psi(\vec{r})=e^{-\frac{i}{\hbar} \delta \vec{\theta}.\hat{\vec{J}}}\psi(\vec{r}). \label{4.1.12}\]

Esto es, por supuesto, idéntico a la ecuación que encontramos para\(\hat{\vec{L}}\), pero ahí derivamos si del operador de momento angular cuántico incluyendo los componentes de momento escritos como diferenciales. Pero hasta este punto sólo\(\psi(\vec{r})\) ha sido una compleja función valorada de posición. A partir de ahora, la función de onda en un punto puede tener varios componentes, por lo que está en algún espacio vectorial, y el operador de rotación operará en este espacio además de ser un operador diferencial con respecto a la posición. Por ejemplo, la función de onda podría ser un vector en cada punto, por lo que la rotación del sistema podría rotar este vector además de moverlo a un diferente\(\vec{r}\).

Para resumir:\(\psi(\vec{r})\) es en general una función n -componente en cada punto del espacio,\(R(\delta \vec{\theta})\) es una\(n\times n\) matriz en el espacio componente, y la ecuación anterior es la definición de\(\hat{\vec{J}}\). Partiendo de esta definición, encontraremos las propiedades\(\hat{\vec{J}}\) de.

El primer punto a hacer es que a diferencia de las traducciones, las rotaciones no se desplazan ni siquiera para un sistema clásico. Girar un libro\(\pi/2\) primero alrededor del eje z y luego alrededor del eje x lo deja en una orientación diferente a la obtenida al rotar desde la misma posición inicial primero\(\pi/2\) alrededor del eje x y luego\(\pi/2\) alrededor del eje z. Incluso las rotaciones pequeñas no se desplazan, aunque el conmutador es de segundo orden. Dado que los operadores R son representaciones de rotaciones, reflejarán esta estructura de conmutatividad, y podemos ver cómo lo hacen al considerar las rotaciones clásicas ordinarias de un vector real en el espacio tridimensional.

Las matrices que giran un vector\(\theta\) alrededor de los ejes x, y y z son

\[ R_x(\theta )=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&\cos\theta& -\sin\theta \\ 0& \sin\theta& \cos\theta \end{pmatrix}, R_y(\theta )=\begin{pmatrix} \cos\theta& 0& \sin\theta \\ 0&1&0 \\ -\sin\theta& 0& \cos\theta \end{pmatrix}, R_z(\theta )=\begin{pmatrix} \cos\theta& -\sin\theta& 0 \\ \sin\theta& \cos\theta& 0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \label{4.1.13}\]

En el límite de rotaciones sobre ángulos infinitesimales (ignorando términos de orden superior),

\[ R_x(\varepsilon )=1+\varepsilon \begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&-1 \\ 0&1&0 \end{pmatrix}, R_y(\varepsilon )=1+\varepsilon \begin{pmatrix} 0&0&1 \\ 0&0&0 \\ -1&0&0 \end{pmatrix}, R_z(\varepsilon )=1+\varepsilon \begin{pmatrix} 0&-1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}. \label{4.1.14}\]

Es fácil comprobarlo

\[ [R_x(\varepsilon ),R_y(\varepsilon )]=\varepsilon^2 \begin{pmatrix} 0&-1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}=R_z(\varepsilon^2)-1. \label{4.1.15}\]

Los operadores de rotación en kets mecánicos cuánticos deben, como todas las rotaciones, seguir este mismo patrón, es decir, debemos tener

\[ ((1-\dfrac{i}{\hbar}\varepsilon J_x)(1-\dfrac{i}{\hbar}\varepsilon J_y)-(1-\dfrac{i}{\hbar}\varepsilon J_y)(1-\dfrac{i}{\hbar}\varepsilon J_x)+\dfrac{i}{\hbar}\varepsilon^2J_z)|\psi\rangle =0 \label{4.1.16}\]

donde hemos utilizado la definición del operador de rotación infinitesimal en kets,\(R(\delta \vec{\theta})\psi(\vec{r})=e^{-\dfrac{i}{\hbar} \delta \vec{\theta}.\hat{\vec{J}}}\psi(\vec{r})\). Los términos de cero y primer orden en\(\varepsilon\) todos cancelan, el término de segundo orden da\([J_x,J_y]=i\hbar J_z\). El enunciado general es:

\[ [J_i,J_j]=i\hbar \varepsilon_{ijk}J_k \label{4.1.17}\]

Esta es una de las fórmulas más importantes en mecánica cuántica.

Consecuencias de las relaciones de conmutación

La fórmula de conmutación\([J_i,J_j]=i\hbar \varepsilon_{ijk}J_k\), que es, después de todo, una extensión directa del resultado para las rotaciones clásicas ordinarias, tiene consecuencias sorprendentemente de largo alcance: conduce directamente a la cuantificación direccional del espín y el momento angular observados en átomos sujetos a un campo magnético.

Ya es muy claro que en los sistemas mecánicos cuánticos como los átomos el momento angular total, y también el componente del momento angular en una dirección dada, sólo puede tomar ciertos valores. Tratemos de construir un conjunto de bases de estados de momento angulares para un sistema dado: un conjunto completo de kets correspondientes a todos los valores permitidos del momento angular. Ahora, el momento angular es una cantidad vectorial: tiene magnitud y dirección. Comencemos con la magnitud, el parámetro natural es la longitud al cuadrado:

\[ J^2=J^2_x+J^2_y+J^2_z. \label{4.1.18}\]

Ahora debemos especificar la dirección —pero aquí nos encontramos con un problema. \(J_x\),\(J_y\) y todos no se\(J_z\) desplazan mutuamente, por lo que no podemos construir un conjunto de eigenkets comunes de dos de ellos, que necesitaríamos para una especificación precisa de la dirección. Todos ellos conmutan con\(J^2\), ya que es esféricamente simétrico y por lo tanto no puede verse afectado por ninguna rotación (y, es fácil verificar esta conmutación explícitamente).

La conclusión, entonces, es que al intentar construir propios mercados que describan los diferentes estados de momento angulares posibles de un sistema cuántico, lo mejor que podemos hacer es encontrar los propios mercados comunes de\(J^2\) y una dirección, digamos\(J_z\). Las relaciones de conmutación no nos permiten ser más precisos sobre la dirección, análogos al Principio de Incertidumbre para la posición y el impulso, que también proviene de la no conmutatividad de los operadores relevantes.

Concluimos que la base de momento angular apropiada es el conjunto de eigenkets comunes de las matrices hermitianas de desplazamiento\(J^2\),\(J_z\):

\[ J^2|a,b\rangle =a|a,b\rangle J_z|a,b\rangle =b|a,b\rangle . \label{4.1.19}\]

Nuestra siguiente tarea es encontrar los valores permitidos de\(a\) y\(b\).

El Principio de Incertidumbre limita nuestro conocimiento sobre la dirección de los momentos angulares con lo mejor que podemos hacer es encontrar los propios mercados comunes de\(J^2\) y una dirección, digamos\(J_z\).