7.1: La Matriz de Densidad

Estados Puros y Estados Mixtos

Vamos a estar con dos experimentos imaginados de Stern-Gerlach. En ese experimento, una corriente de átomos de plata (no ionizados) de un horno se dirige a través de un campo magnético vertical no homogéneo, y la corriente se divide en dos. Los átomos de plata tienen momentos magnéticos distintos de cero, y un momento magnético en un campo magnético no homogéneo experimenta una fuerza distinta de cero, lo que hace que el átomo se desvíe de su trayectoria en línea recta, siendo la magnitud de la deflexión proporcional a la componente del momento magnético del átomo en la vertical (campo) dirección. La observación del haz dividiéndose en dos, y no más, significa que la componente vertical del momento magnético, y por lo tanto el momento angular asociado, solo puede tener dos valores diferentes. A partir del análisis básico de los operadores de rotación y las propiedades del momento angular que siguen, esta observación nos obliga a concluir que el momento angular total de un átomo de plata es\(\frac{1}{2}\hbar\). Los momentos angulares orbitales ordinarios no pueden tener valores semienteros; este experimento fue uno de los primeros indicios de que el electrón tiene un grado de libertad de espín, un momento angular que no puede interpretarse como momento angular orbital de las partes constituyentes. El átomo de plata tiene 47 electrones, 46 de ellos tienen espín total y momenta orbitales que cancelan por separado, el 47 ^º no tiene momento angular orbital, y su espín es todo el momento angular del átomo.

Aquí utilizaremos la corriente Stern-Gerlach como ejemplo de una gran colección de sistemas cuánticos (los átomos) para aclarar cómo describir tal colección, a menudo llamada conjunto. Para evitar complicaciones innecesarias, solo consideramos los grados de libertad de giro. Comenzamos por examinar dos corrientes diferentes:

Supongamos que el experimentalista\(A\) prepara una corriente de átomos de plata tal que cada átomo está en el estado de espín\(\psi_A\):

\[ |\psi_A\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle). \label{7.1.1}\]

En tanto, el experimentalista\(B\) prepara una corriente de átomos de plata que es una mezcla: la mitad de los átomos están en estado\(|\uparrow\rangle\) y la mitad están en el estado\(|\downarrow\rangle\): llamar a esta mezcla\(B\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

¿Podemos distinguir el\(A\) arroyo del\(B\) arroyo?

Solución

Evidentemente, ¡no midiendo el giro en la dirección z! Ambos cederán el 50% del tiempo, un 50% abajo.

Pero: podemos distinguirlos midiendo el giro en la dirección x: el estado\(\psi_A\) cuántico es de hecho solo el de un giro en la dirección x, por lo que cada vez cederá “arriba” en la dirección x, a partir de ahora lo llamamos\(|\uparrow_x\rangle\), mientras que el estado\(|\uparrow\rangle\) (“arriba” en la dirección z) lo hará rendimiento “arriba” en la dirección x solo el 50% del tiempo, como lo hará\(|\downarrow\rangle\).

Al estado\(\psi_A=|\uparrow_x\rangle\) se le llama estado puro, es el tipo de estado cuántico que hemos estado estudiando todo este curso.

La corriente\(B\), en contraste, se encuentra en un estado mixto: el tipo que realmente ocurre en mayor o menor medida en una corriente de átomos de la vida real, diferentes estados cuánticos puros que ocurren con diferentes probabilidades, pero sin coherencia de fase entre ellos. En otras palabras, estas probabilidades relativas en\(B\) de diferentes estados cuánticos no derivan de amplitudes de probabilidad, como lo hacen al encontrar la probabilidad de giro en corriente\(A\): las probabilidades de los diferentes estados cuánticos en el estado mixto\(B\) son exactamente como probabilidades clásicas.

Dicho esto, sin embargo, para encontrar la probabilidad de medir el giro en algún estado mixto, primero se usa la probabilidad de tipo clásico para cada estado componente, luego para cada estado cuántico en la mezcla, se encuentra la probabilidad de giro en ese estado por el técnica cuántica estándar.

Por lo tanto, para un estado mixto en el que el sistema está en estado\(|\psi_i\rangle\) con probabilidad\(w_i,\; \sum w_i=1\), el valor de expectativa de un operador\(\hat{A}\) es\[ \langle \hat{A}\rangle=\sum w_i\langle \psi_i|\hat{A}|\psi_i\rangle \label{7.1.2}\]

y debemos enfatizar que estos\(|\psi_i\rangle\) no necesitan ser ortogonales (pero por supuesto están normalizados): por ejemplo uno podría ser\(|\uparrow_x\rangle\), otro\(|\uparrow_z\rangle\). (Ponemos la z generalmente omitida para enfatizar.) La razón por la que nos ponemos un sombrero\(\hat{A}\) aquí es para enfatizar que se trata de un operador, pero los\(w_i\) son solo números.

La Matriz de Densidad

La ecuación para el valor de expectativa se\(\langle \hat{A}\rangle\) puede escribir:

\[ \langle \hat{A}\rangle=Trace(\hat{\rho}\hat{A}) \label{7.1.3A}\]

donde

\[\hat{\rho}=\sum w_i|\psi_i\rangle\langle \psi_i| . \label{7.1.3B}\]

Para ver exactamente cómo se produce esto, recordemos que para un operador\(\hat{B}\) en un espacio vectorial finito-dimensional con un conjunto de bases ortonormales\(|j\rangle\)\(Tr\hat{B}=\sum_{j=1}^{n}\langle j|\hat{B}|j\rangle=B_{jj}\), donde el sufijo repetido implica la suma de los elementos de la matriz diagonal del operador.

Por lo tanto,

\[ \begin{align} Tr(\hat{\rho}\hat{A}) &= \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n}w_i\langle j|\psi_i\rangle\langle \psi_i|\hat{A}|j\rangle \label{7.1.4A} \\[5pt] &=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}w_i\langle \psi_i|\hat{A}|j\rangle\langle j|\psi_i\rangle \label{7.1.4B} \\[5pt] &=\sum_{i=1}^{n}w_i\langle \psi_i|\hat{A}|\psi_i\rangle \label{7.1.4C} \end{align}\]

ya que\(\sum|j\rangle\langle j|=I\), la identidad.

A esto\(\hat{\rho}\) se le llama la matriz de densidad: su forma de matriz se hace explícita al considerar estados\(|\psi_i\rangle\) en un espacio vectorial N-dimensional finito (como espines o momentos angulares)

\[ |\psi_i\rangle=\sum_j(V_i)_j|j\rangle \label{7.1.5}\]

donde\(|j\rangle\) son un conjunto de bases ortonormales, y\((V_i)_j\) es el\(j^{th}\) componente de un vector normalizado\(V_i\). Es conveniente expresar\(\hat{\rho}\) en términos de kets y sujetadores pertenecientes a esta base ortonormal,

\[ \hat{\rho}=\sum w_i|\psi_i\rangle\langle \psi_i|=\sum_{i,j,k}w_i(V_i)_j(V^{\dagger}i)_k|j\rangle\langle k|=\sum_{j,k}\rho_{jk}|j\rangle\langle k| \label{7.1.6}\]

y evidentemente

\[ \langle \hat{A}\rangle=Trace(\hat{\rho}\hat{A})=\sum_{n,j,k}\langle n|\rho_{jk}|j\rangle\langle k|\hat{A}|n\rangle=\sum_{j,k}\rho_{jk}\langle k|\hat{A}|j\rangle=\sum_{j,k}\rho_{jk}A_{kj}. \label{7.1.7}\]

(Ya que\(\rho_{jk}\) es sólo un número,\(\langle n|\rho_{jk}|j\rangle=\rho_{jk}\langle n|j\rangle=\rho_{jk}\delta_{nj}\).)

\(Trace(\hat{\rho}\hat{A})\)es independiente de la base, permaneciéndose inalterado el rastro de una matriz por una transformación unitaria, ya\(Tr(ABC)=Tr(BCA)\) que de ello se desprende\[ TrU^{\dagger}\, AU=TrAU\, U^{\dagger}=TrA\; for\; UU^{\dagger}=1. \label{7.1.8}\]

Obsérvese que dado que los vectores\(V_i\) están normalizados\(\sum_j(V_i)_j(V^{\dagger}_i)_j=1\),, con el\(i\) no sumado, y\(\sum w_i=1\), se deduce que\[ Tr\hat{\rho}=1 \label{7.1.9}\]

(también evidente al poner\(A=1\) en la ecuación para\(\langle A\rangle\)).

Para un sistema en un estado cuántico puro\(|\psi\rangle\),\(\hat{\rho}=|\psi\rangle\langle \psi|\), solo el operador de proyección en ese estado, y

\[ \hat{\rho}^2=\hat{\rho}, \label{7.1.10}\]

como para todos los operadores de proyección.

Vale la pena deletrear en qué se diferencia esto del estado mixto al observar la forma de la matriz de densidad.

Para el estado puro\(|\psi\rangle\), si se elige una base para que\(|\psi\rangle\) sea miembro de la base (esto siempre se puede hacer),\(\hat{\rho}\) es una matriz con cada elemento cero excepto el elemento diagonal correspondiente\(|\psi\rangle\langle \psi|\), que será la unidad. Obviamente,\(\hat{\rho}^2=\hat{\rho}\). Esto es menos obvio en una base general, donde\(\hat{\rho}\) no necesariamente será diagonal. Pero la afirmación\(\hat{\rho}^2=\hat{\rho}\) sigue siendo cierta bajo una transformación a una nueva base.

Para un estado mixto, digamos por ejemplo una mezcla de estados ortogonales\(|\psi_1\rangle,\; |\psi_2\rangle\), si elegimos una base que incluya ambos estados, la matriz de densidad será diagonal con solo dos entradas\(w_1,\; w_2\). Ambos números deben ser menores que la unidad, entonces\(\hat{\rho}^2\neq \hat{\rho}\). Una mezcla de estados no ortogonales se deja como ejercicio para el lector.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Pure State (case \(A\))

Primero, nuestro caso A anterior (estado puro): todos los giros en estado\(|\uparrow_x\rangle=(1/\sqrt{2})(|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle)\).

En la norma\(|\uparrow\rangle\),\(|\downarrow\rangle\) base,

\[ \hat{\rho}=|\uparrow_x\rangle\langle \uparrow_x|=\dbinom{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1/2&1/2\\ 1/2&1/2 \end{pmatrix} \label{7.1.11}\]

y

\[ \begin{matrix} \langle s_x\rangle=Tr(\hat{\rho}s_x)=\dfrac{\hbar}{2}Tr\begin{pmatrix} 1/2&1/2\\ 1/2&1/2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}=\dfrac{\hbar}{2} \\ \langle s_z\rangle=Tr(\hat{\rho}s_z)=\dfrac{\hbar}{2}Tr\begin{pmatrix} 1/2&1/2\\ 1/2&1/2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}=0. \end{matrix} \label{7.1.12}\]

Observe eso\(\hat{\rho}^2=\hat{\rho}\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): 50-50 mixed up and down (case \(B\))

50% en el estado\(|\uparrow\rangle\), 50%\(|\downarrow\rangle\).

La matriz de densidad es

\[ \begin{matrix} \hat{\rho}=\dfrac{1}{2}|\uparrow\rangle\langle \uparrow|+\dfrac{1}{2}|\downarrow\rangle\langle \downarrow| \\ =\dfrac{1}{2}\dbinom{1}{0}\begin{pmatrix}1& 0 \end{pmatrix}+\dfrac{1}{2}\dbinom{0}{1}\begin{pmatrix}0& 1 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}. \end{matrix} \label{7.1.13}\]

Esto es proporcional a la matriz unitaria, por lo que

\[ Tr\hat{\rho}s_x=\dfrac{1}{2}\dfrac{\hbar}{2}Tr\sigma_x=0, \label{7.1.14}\]

y de manera similar para\(s_y\) y\(s_z\), ya que las\(\sigma\) matrices Pauli son todas sin rastro. Obsérvese también que\(\hat{\rho}^2=\dfrac{1}{2}\hat{\rho}\neq \hat{\rho}\), como es cierto para todos los estados mixtos.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Finally, a 50-50 mixed state relative to the x-axis (case \(C\))

Es decir, 50% de los giros en el estado\(|\uparrow_x\rangle=(1/\sqrt{2})(|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle)\), “arriba” a lo largo del eje x, y 50% adentro\(|\downarrow_x\rangle=(1/\sqrt{2})(|\uparrow\rangle-|\downarrow\rangle)\), “abajo” en la dirección x.

Es fácil comprobarlo

\[ \hat{\rho}=\dfrac{1}{2}|\uparrow_x\rangle\langle \uparrow_x|+\dfrac{1}{2}|\downarrow_x\rangle\langle \downarrow_x|=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1/2&1/2\\ 1/2&1/2 \end{pmatrix}+\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1/2&-1/2\\ -1/2&1/2 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}. \label{7.1.15}\]

Esta es exactamente la misma matriz de densidad que encontramos para el 50% en el estado\(|\uparrow\rangle\),\(|\downarrow\rangle\) ¡50%!

La razón es que ambas formulaciones describen un estado del que no sabemos nada; estamos en un estado de total ignorancia, los giros son completamente aleatorios, todas las direcciones son igualmente probables. La matriz de densidad que describe tal estado no puede depender de la dirección que elegimos para nuestros ejes.

Otro sistema cuántico de dos estados que se puede analizar de la misma manera es el estado de polarización de un haz de luz, siendo los estados de base la polarización en la dirección x y la polarización en la dirección y, para un haz que viaja paralelo al eje z-. La luz ordinaria no polarizada corresponde al estado mixto aleatorio, con la misma matriz de densidad que en el último ejemplo anterior.

Evolución temporal de la matriz de densidad

En el estado mixto, los estados cuánticos evolucionan independientemente según la ecuación de Schrödinger, por lo que

\[ i\hbar \dfrac{d\hat{\rho}}{dt}=\sum w_i H|\psi_i\rangle\langle \psi_i| - \sum w_i|\psi_i\rangle\langle \psi_i|H=[H,\hat{\rho}]. \label{7.1.16}\]

Tenga en cuenta que esto tiene el signo opuesto a la evolución de un operador de Heisenberg, no es de extrañar ya que el operador de densidad está conformado por sujetadores y kets Schrödinger.

La ecuación es el análogo cuántico del teorema de Liouville en mecánica estadística. El teorema de Liouville describe la evolución en el tiempo de un conjunto de sistemas clásicos idénticos, como muchas cajas cada una llena con la misma cantidad del mismo gas a la misma temperatura, pero las posiciones y momentos de los átomos individuales son aleatoriamente diferentes en cada uno. Cada caja puede ser descrita clásicamente por un solo punto en un enorme espacio dimensional, un espacio que tiene seis dimensiones por cada átomo (posición e impulso, ignoramos posibles grados internos de libertad). Todo el conjunto, entonces, es un gas de estos puntos en este enorme espacio, y la tasa de cambio de la densidad local de este gas, a partir de las ecuaciones de Hamilton, es\(\partial \rho/\partial t=-\{\rho,H\}\), siendo el soporte ahora un corchete de Poisson (ver mis notas de Mecánica Clásica). De todos modos, este es el precursor clásico de, y la razón del nombre de, la matriz de densidad.

Equilibrio Térmico

Un sistema en equilibrio térmico está representado en la mecánica estadística por un conjunto canónico. Si el autoestado\(|i\rangle\) del hamiltoniano tiene energía\(E_i\), la probabilidad relativa de que el sistema esté en ese estado está\(e^{-E_i/kT}=e^{-\beta E_i}\) en la notación estándar. Por lo tanto, la matriz de densidad es:\[ \hat{\rho}=\dfrac{1}{Z}\sum_i e^{-\beta E_i}|i\rangle\langle i|=\dfrac{e^{-\beta H}}{Z}, \label{7.1.17}\]

donde

\[ Z=\sum_i e^{-\beta E_i}=Tre^{-\beta H}. \label{7.1.18}\]

Observe que en esta formulación, aparte de la constante de normalización\(Z\), el operador de densidad es análogo al propagador\(U(t)=e^{-iHt/\hbar}\) por un tiempo imaginario\(t=-i\hbar \beta\). Por cierto, para interaccionar campos cuánticos, el propagador se puede construir como un conjunto de diagramas de Feynman correspondientes a todas las posibles secuencias de dispersión de partículas por interacción. Para encontrar las propiedades termodinámicas de una teoría de campo a temperatura finita, esencialmente se utiliza el mismo conjunto de diagramas para encontrar la energía libre: los diagramas ahora describen el sistema que se propaga por un tiempo imaginario finito, se pueden utilizar las mismas herramientas matemáticas.

A temperatura cero (\(\beta =\infty\)) los coeficientes de probabilidad\(w_i=e^{-\beta E_i}/Z\) son todos cero excepto el estado fundamental: el sistema está en estado puro, y la matriz de densidad tiene cada elemento cero excepto un solo elemento en la diagonal. A temperatura infinita, todos los\(w_i\) son iguales: la matriz de densidad es justamente\(1/N\) multiplicada por la matriz unitaria, donde\(N\) está el número total de estados disponibles para el sistema. De hecho, la entropía del sistema se puede expresar en términos de la matriz de densidad:\(S=-kTr(\hat{\rho}\ln \hat{\rho})\). Esto no es tan malo como parece: ambos operadores son diagonales en el subespacio energético.