8: Métodos aproximados

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 126897

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Hasta ahora, nos hemos concentrado en problemas que eran analíticamente solucionables, como el oscilador armónico simple, el átomo de hidrógeno y los potenciales de tipo pozo cuadrado. De hecho, pronto nos enfrentaremos a situaciones en las que se desconoce una solución analítica exacta: potenciales más generales, o átomos con más de un electrón. Para avanzar en estos casos, necesitamos métodos de aproximación. El método más conocido es la teoría de la perturbación, que ha demostrado ser altamente exitosa en una amplia gama de problemas (pero de ninguna manera todos).

8.1: Métodos variacionales
En este módulo se introduce el método variacional. El método variacional funciona mejor para el estado fundamental, y en algunas circunstancias (que se describirán a continuación) para algunos otros estados de baja mentira.
8.2: La aproximación de WKB
La aproximación WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin) es, en sentido que se aclarará a continuación, un método cuasi-clásico para resolver la ecuación de Schrödinger unidimensional (y efectivamente unidimensional, como la radial) independiente del tiempo.
8.3: Nota sobre la fórmula de conexión WKB
Para una partícula atrapada en un pozo de potencial (unidimensional), clásicamente la partícula rebotaría de un lado a otro entre los dos puntos de inflexión donde su energía cinética se desvanece. En el caso cuántico, estos son precisamente los puntos donde la longitud de onda se vuelve infinita, por lo que la solución WKB falla.

Miniatura: Dos (o más) funciones de onda se mezclan por combinación lineal. Los coeficientes c ₁, _c2 determinan el peso que se da a cada uno de ellos. Los coeficientes óptimos se encuentran buscando mínimos en el paisaje potencial abarcado por c ₁ y c ₂. (CC BY-SA 3.0; Rudolf Winter en la Universidad de Aberystwyth).