3.1: El estado de un sistema cuántico

Veamos primero cómo especificamos el estado para un sistema clásico. Una vez más, utilizamos la omnipresente bola de billar. Como cualquier jugador sabe, hay tres aspectos importantes en su movimiento:

1. posición,
2. velocidad y
3. giro (momento angular alrededor de su centro).

Conociendo estas cantidades podemos en principio (sin fricción) predecir su movimiento para todos los tiempos. Hemos argumentado antes que la mecánica cuántica implica un elemento de incertidumbre. No podemos predecir un estado como en la mecánica clásica, necesitamos predecir una probabilidad. Queremos ser capaces de predecir el resultado de una medición de, digamos, la posición. Dado que la posición es una variable continua, no podemos simplemente tratar con una probabilidad discreta, necesitamos una densidad de probabilidad, Para entender este hecho mira la probabilidad que medimos\(x\) para estar entre\(X\) y\(X+Δ X\). Si\(Δ X\) es lo suficientemente pequeña, esta probabilidad es directamente proporcional a la longitud del intervalo

\[P ( X < x < X + Δ X ) = P(X)ΔX \label{3.1}\]

Aquí\(P( X)\) se llama la densidad de probabilidad. La declaración estándar de que la probabilidad total es uno se traduce en una declaración integral,

\[\int_{− ∞}^{∞} dx\, P( x ) = 1 \label{3.2}\]

(Aquí soy perezoso y uso la\(x\) minúscula donde he usado\(X\) antes; esta es una práctica estándar en QM.) Ya que las probabilidades son siempre positivas, requerimos\(P( x)≥ 0\).

Ahora intentemos ver algunos aspectos de las ondas clásicas, y veamos si pueden ayudarnos a adivinar cómo derivar una densidad de probabilidad a partir de una ecuación de onda. El ejemplo estándar de una onda clásica es el movimiento de una cuerda. Por lo general, una cuerda puede moverse hacia arriba y hacia abajo, y la solución estándar para la ecuación de onda

\[\dfrac{∂^2}{∂ x^2} A ( x , t ) = \dfrac{1}{c^2} \dfrac{∂^2}{∂ x^ 2} A ( x , t ) \label{3.3}\]

puede ser tanto positivo como negativo. En realidad, el cuadrado de la función de onda es una opción posible para la probabilidad (esto es proporcional a la intensidad de la radiación). Ahora intentemos argumentar qué ecuación de onda describe el análogo cuántico de la mecánica clásica, es decir, la mecánica cuántica.

El punto de partida es una onda propagadora. En los problemas de onda estándar esto viene dado por una onda plana, es decir,

\[ψ = A ℜ \exp ( i ( k x − ω t + ϕ ) ) .\label{3.4}\]

Esto describe una onda que se propaga en la dirección x con longitud de onda\(λ= 2π/k\) y frecuencia\(\nu=ω/( 2π)\). Interpretamos esta onda plana como un haz propagador de partículas. Si definimos la probabilidad como el cuadrado de la función de onda, no es muy sensato tomar la parte real de lo exponencial: la probabilidad sería una función oscilante de\(x\) para dado\(t\). Si tomamos la función compleja\(A \exp ( i( k x−ω t+ϕ))\), sin embargo, la probabilidad, definida como el valor absoluto al cuadrado, es una constante (\(| A|^2\)) independiente de\(x\) y\(t\), que es muy sensible para un haz de partículas. Así concluimos que la función de onda\(ψ( x, t)\) es compleja, y la densidad de probabilidad lo es\(|ψ( x, t)|^2\).

Usando la relación de Broglie

\[p = ℏ ∕ λ , \label{3.5}\]

encontramos

\[p = ℏ k . \label{3.6}\]

La otra de las relaciones de Broglie se puede utilizar para dar

\[E = h ν = ℏ ω . \label{3.7}\]

Uno de los objetivos importantes de la mecánica cuántica es generalizar la mecánica clásica. Intentaremos generalizar la relación entre momento y energía,

\[E = 1 2 m v^2 = \dfrac{p^2}{2 m} \label{3.8}\]

al reino cuántico. Observe que

\[p ψ ( x , t ) = ℏ k ψ ( x , t ) = \dfrac{ℏ}{ i} \dfrac{∂}{∂ x} ψ ( x , t ) \]

\[E ψ ( x , t ) = ℏ ω ψ ( x , t ) = \dfrac{ ℏ i ∂}{∂ t} ψ ( x , t ) \label{3.9}\]

Usando esto podemos adivinar una ecuación de onda de la forma

\[\dfrac{1}{2 m} \left( \dfrac{ ℏ}{i} \dfrac{∂}{∂ x^ 2} \right) ψ ( x , t ) = \frac{ \hbar i ∂}{ ∂ t} ψ ( x , t ) . \label{3.10}\]

En realidad, utilizando la definición de energía cuando el problema incluye un potencial,

\[E = \dfrac{1}{ 2} m v^2 + V ( x ) = \dfrac{p^2}{2 m} + V ( x ) \label{3.11}\]

(cuando se expresa en momenta, esta cantidad suele llamarse “hamiltoniana”) encontramos la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

\[− \dfrac{ℏ^2}{2 m} \dfrac{ ∂^2}{∂ x^2} ψ ( x , t ) + V ( x ) ψ ( x , t ) = \dfrac{ℏ i ∂}{ ∂ t} ψ ( x , t ) . \label{3.12}\]

Sólo dedicaremos un tiempo limitado en esta ecuación. Inicialmente nos interesa la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, donde la probabilidad\(|ψ( x, t)|^2\) es independiente del tiempo. Para llegar a esta simplificación, encontramos que\(ψ( x, t)\) debe tener la forma

\[ψ ( x , t ) = ϕ ( x ) e ^{− i E t ∕ ℏ} . \label{3.13}\]

Si sustituimos esto en la ecuación dependiente del tiempo, obtenemos (usando la regla del producto para la diferenciación)

\[− e^{ − i E t ∕ ℏ} \dfrac{ ℏ^ 2}{ 2 m} \dfrac{ d^ 2}{ d x^ 2} ϕ ( x ) + e ^{− i E t ∕ ℏ} V ( x ) ϕ ( x ) = E e^{ − i E t ∕ ℏ} ϕ ( x ) . \label{3.14}\]

Quitando el factor común\(e^{− i E t/\hbar}\) tenemos una ecuación para la\(ϕ\) que ya no contiene tiempo, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

\[ \dfrac{ℏ^2}{ 2 m} \dfrac{ d^2}{d x^ 2} ϕ ( x ) + V ( x ) ϕ ( x ) = E ϕ ( x ) . \label{3.15}\]

La solución correspondiente a la ecuación dependiente del tiempo es la onda estacionaria (Ecuación\ ref {3.13}).