3.3: Análisis de la ecuación de onda
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Uno de los aspectos importantes de la ecuación o ecuaciones de Schrödinger es su linealidad. Para el tiempo independiente ecuación de Schrödinger, que generalmente se llama un problema de autovalor, la única consecuencia que necesitaremos aquí, es que si\(ϕ_i( x)\) es una función propia (una solución para\(E_i\)) de la ecuación de Schrödinger, así es\(Aϕ_i( x)\). Esto es útil para definir una probabilidad, ya que nos gustaría
\[\int_{− ∞}^{∞} |A|^2 | ϕ_i ( x ) |^2 \,dx = 1 \label{3.17}\]
Dado\(ϕ_i( x)\) que así podemos usar esta libertad para” normalizar” la función de onda! (Si la integral over\(|ϕ( x)|^2\) es finita, es decir, si\(ϕ( x)\) es “normalizable”; no todas las funciones lo son).
Como ejemplo supongamos que tenemos un hamiltoniano que tiene la función\(ψ_i( x)= e^{− x^2/2}\) como función propia. Esta función no se normaliza ya que
\[\int_{− ∞}^{∞} | ϕ_i ( x ) |^2\, dx = \sqrt{π}. \label{3.18}\]
La forma normalizada de esta función es
\[\dfrac{1}{π^{1 ∕ 4}} e^{− x^2 ∕ 2}. \label{3.19}\]
Necesitamos saber un poco más sobre la estructura de la solución de la ecuación de Schrödinger —las condiciones límite y demás. Aquí postularé las condiciones límite, sin derivación alguna.
- \(ϕ( x)\)es una función continua, y es de valor único.
- \[\int_{− ∞}^{∞}|ϕ( x)|^2\, dx\]debe ser finito, por lo que esa\[P( x)=|ϕ( x)|^2 \int_{− ∞}^{∞} |ψ( x)|^2\, d x \label{3.20}\] es una densidad de probabilidad.
- \(\frac{∂ϕ( x)}{∂ x}\)es continuo excepto donde\(V( x)\) tiene una discontinuidad infinita.