6.1: Funciones de onda no normalizables

He argumentado que las soluciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo deben normalizarse, para tener una probabilidad total de encontrar una partícula de uno. Esto tiene sentido si pensamos en describir un solo átomo de hidrógeno, donde solo se puede encontrar un solo electrón. Pero si usamos un acelerador para enviar un haz de electrones a una superficie metálica, esto ya no es un requisito: Lo que queremos describir es el flujo de electrones, el número de electrones que llegan a través de un elemento de volumen dado en un tiempo dado.

Permítanme primero considerar soluciones a la ecuación “libre” de Schrödinger, es decir, sin potencial, como se discutió anteriormente. Toman la forma

\[ϕ ( x ) = A e^{i k x} + B e^{− i k x} . \label{6.1}\]

Investiguemos las dos funciones. Recordando que

\[\hat{p}=\dfrac{ℏ}{i} \dfrac{∂}{∂ x}\]

encontramos que\(ϕ ( x )\) (Ecuación\ ref {6.1}) representa la suma de dos estados, uno con impulso\(ℏ k\), y el otro con impulso\(−ℏ k\). El primero describe un haz de partículas que va hacia la derecha, y el otro término un haz de partículas que viajan hacia la izquierda. Una función de onda estacionaria asociada con un estado de límite es cuando\(A= B\) (Figura\(\PageIndex{1}\)).

Figura\(\PageIndex{1}\): Una onda estacionaria. La onda azul se mueve hacia la derecha mientras que la onda roja se mueve en sentido contrario. La onda combinada (negra) no se propaga

Permítanme concentrarme en el primer término, que describe un haz de partículas que van hacia la derecha. Necesitamos definir una densidad de corriente de probabilidad. Dado que la corriente es el número de partículas por su velocidad, una definición sensible es la densidad de probabilidad por la velocidad,

\[| ϕ ( x ) |^2 \dfrac{ℏ k}{m} = | A |^2 \dfrac{ℏ k}{m} . \label{6.2}\]

Este concepto sólo tiene sentido para estados que no están vinculados, y así se comportan totalmente diferentes a los que comenté anteriormente.