9.1: Osciladores armónicos
- Page ID
- 131572
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Uno de los principales campos de juego para los métodos operatorios es el oscilador armónico. A pesar de que se ven muy artificiales, los potenciales armónicos juegan un papel extremadamente importante en muchas áreas de la física. Esto se debe a que alrededor de un punto de equilibrio, donde las fuerzas desaparecen, cualquier potencial se comporta como armónico (más pequeñas correcciones). Esto se puede ver mejor haciendo una expansión de la serie Taylor sobre tal punto,
\[V( x ) = V_0 + \dfrac{1}{2} m ω^2 x^2 + O( x^3 ) . \label{9.1}\]
¿Por qué no hay término lineal en la Ecuación\ ref {9.1}?
Por lo suficientemente pequeño domina\(x\) el término cuadrático, y podemos ignorar otros términos. Tales situaciones ocurren en muchos problemas físicos, y hacen del oscilador armónico un problema tan importante.
Como se explicó en nuestra primera discusión sobre los osciladores armónicos, escalamos a variables adimensionales (“números puros”)
\[y = \sqrt{ \dfrac{m ω}{ \hbar }} x \label{9.2}\]
con\(\epsilon = E ∕ ℏω\).
En estas nuevas variables la ecuación de Schrödinger se convierte
\[\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{-d^2}{dy^2} + y^2 \right) u ( y ) = \epsilon u ( y ) . \label{9.3}\]