12.1: El principio de incertidumbre

Antes de discutir detalles sobre la estructura del átomo de hidrógeno, es interesante observar qué información sobre el átomo de hidrógeno se puede derivar solo del principio de incertidumbre de Heisenberg. Una forma familiar del principio de incertidumbre se ve así:

donde y son la incertidumbre en el componente x de la posición y el impulso de una partícula, respectivamente. Considera un electrón en una órbita circular clásica en el plano xy. Entonces es razonable escribir, donde r es el radio de la órbita. Asumiendo un estado de incertidumbre mínima, entonces se conoce por el principio de incertidumbre, y debe ser aproximadamente igual a la magnitud del impulso para la órbita circular que se esté considerando. Es decir,

Clásicamente, la energía es simplemente

donde m es la masa de electrones y e la carga de electrones. El último paso resulta de la sustitución de p de la ecuación 2. Se desconoce el valor de r, pero uno esperaría que tuviera un valor que minimice la energía, como le gusta hacer a la Naturaleza. Diferenciar la ecuación 3 con respecto a r y establecer igual a cero da

Esto rinde

donde está el radio de Bohr. Sustituir en la ecuación 3 da

El radio de Bohr es exactamente el radio de la órbita circular en el estado fundamental del electrón en la teoría de Bohr, y se sostiene como representativo de la extensión de la órbita en la teoría de Schrödinger. La energía es la energía conocida del estado fundamental del átomo de hidrógeno. Entonces, partiendo solo de una visión muy aproximada de la estructura del átomo y del principio de incertidumbre, se pueden hacer algunas suposiciones razonables y derivar dos resultados fundamentales extremadamente importantes: el ``tamaño” si el átomo de hidrógeno en su estado fundamental y su energía de ionización. Por supuesto, para obtener precisamente los resultados correctos se necesitan hacer las suposiciones correctas, y así este cálculo ciertamente no es rigurosamente exacto. Simplemente ilustra la relación de la estructura física fundamental del átomo de hidrógeno con el principio de incertidumbre. El hecho de que estos resultados se derivaran asumiendo una incertidumbre mínima conduce a una conclusión bastante importante: el átomo de hidrógeno en su estado fundamental se encuentra esencialmente en un estado de incertidumbre mínima. Esto explica por qué el electrón en su estado fundamental no puede irradiar, como se espera clásicamente, y ser atraído hacia el núcleo —hacerlo violaría el principio de incertidumbre. Si el electrón estuviera confinado más cerca del núcleo, así que fueran mucho más pequeños, entonces sería mucho más grande y así no sería posible considerar al electrón como necesariamente ligado al núcleo.

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