1.3: Operadores hermitianos y unitarios

A continuación, consideraremos dos tipos especiales de operadores, a saber, operadores hermitianos y unitarios. Un operador A es hermitiano si y solo si\(A^{\dagger}=A\).

Lema

Un operador es hermitiano si y solo si tiene valores propios reales:\(A^{\dagger}=A \Leftrightarrow a_{j} \in \mathbb{R}\).

Prueba

La ecuación de autovalor\(A\) implica que

\[A\left|a_{j}\right\rangle=a_{j}\left|a_{j}\right\rangle \Rightarrow\left\langle a_{j}\right| A^{\dagger}=a_{j}^{*}\left\langle a_{j}\right|,\tag{1.27}\]

lo que significa que\(\left\langle a_{j}|A| a_{j}\right\rangle=a_{j}\) y\(\left\langle a_{j}\left|A^{\dagger}\right| a_{j}\right\rangle=a_{j}^{*}\). Ahora es sencillo demostrar que eso\(A=A^{\dagger}\) implica\(a_{j}=a_{j}^{*}\), o\(a_{j} \in \mathbb{R}\). Por el contrario,\(a_{j} \in \mathbb{R}\) implica\(a_{j}=a_{j}^{*}\), y

\[\left\langle a_{j}|A| a_{j}\right\rangle=\left\langle a_{j}\left|A^{\dagger}\right| a_{j}\right\rangle\tag{1.28}\]

Vamos\(|\psi\rangle=\sum_{k} c_{k}\left|a_{k}\right\rangle\). Entonces

\ [\ begin {alineado}
\ langle\ psi|a|\ psi\ rangle &=\ suma_ {j}\ izquierda|c_ {j}\ derecha|^ {2}\ izquierda\ langle a_ {j} |A| a_ {j}\ derecha\ rangle=\ suma_ {j}\ izquierda|c_ {j}\ derecha|^ {2}\ izquierda\ lángulo a_ {j}\ izquierda|a^ {\ daga}\ derecha| a_ {j}\ derecha\ rangle=\ suma_ {j}\ izquierda|c_ {j}\ derecha|^ {2}\ izquierda\ langle a_ {j}\ izquierda|a^ {\ daga}\ derecha| a_ {j}\ derecha\ rangle\\
&=\ izquierda\ langle\ psi\ izquierda|A^ {\ daga}\ derecha|\ psi\ derecha\ rangle
\ end {alineado}\ tag {1.29}\]

para todos\(|\psi\rangle\), y por lo tanto\(A=A^{\dagger}\).

A continuación, construimos el exponente de un operador\(A\) según\(U=\exp (i c A)\). Hemos incluido el número complejo\(c\) para la completitud. A primera vista, tal vez te preguntes qué significa tomar el exponente de un operador. Recordemos, sin embargo, que el exponente tiene una expansión de potencia:

\[U=\exp (i c A)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i c)^{n}}{n !} A^{n}\tag{1.30}\]

El\(n^{\text {th }}\) poder de un operador es sencillo: simplemente multiplicar\(A\)\(n\) veces consigo mismo. La expresión en la Ec. (1.30) está entonces bien definida, y el exponente se toma como una abreviatura de la expansión de potencia. En general, podemos construir cualquier función de operadores, siempre y cuando podamos definir la función en términos de una expansión de potencia:

\[f(A)=\sum_{n=0}^{\infty} f_{n} A^{n}\tag{1.31}\]

Esto también se puede extender a funciones de múltiples operadores, pero ahora hay que tener mucho cuidado en el caso de que estos operadores no conmuten. Ya no se aplican reglas familiares para combinar funciones normales (ver ejercicio 4b).

Podemos construir el colindante del operador de\(U\) acuerdo con

\[U^{\dagger}=\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i c)^{n}}{n !} A^{n}\right)^{\dagger}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(-i c^{*}\right)^{n}}{n !} A^{\dagger n}=\exp \left(-i c^{*} A^{\dagger}\right)\tag{1.32}\]

En el caso especial donde\(A=A^{\dagger}\) y\(c\) es real, calculamos

\[U U^{\dagger}=\exp (i c A) \exp \left(-i c^{*} A^{\dagger}\right)=\exp (i c A) \exp (-i c A)=\exp [i c(A-A)]=\mathbb{I},\tag{1.33}\]

ya que\(A\) conmuta consigo mismo. De igual manera,\(U^{\dagger} U=\mathbb{I}\). Por lo tanto\(U^{\dagger}=U^{-1}\),, y un operador con esta propiedad se llama unitario. Cada operador unitario puede ser generado por un operador hermitiano (autoadjunto)\(A\) y un número real\(c\). \(A\)se llama el generador de\(U\). A menudo escribimos\(U=U_{A}(c)\). Los operadores unitarios son transformaciones de base.