7.1: Momentum angular orbital

De la física clásica sabemos que el momento angular orbital de una partícula viene dado por el producto cruzado de su posición e impulso

\[\mathbf{L}=\mathbf{r} \times \mathbf{p} \quad \text { or } \quad L_{i}=\epsilon_{i j k} r_{j} p_{k},\tag{7.1}\]

donde usamos la convención de suma de Einstein para los índices. En mecánica cuántica, podemos encontrar el operador para el momento angular orbital promoviendo la posición y el momento observables a los operadores. El operador de momento angular orbital resultante resulta ser bastante complicado, debido a una combinación del producto cruzado y al hecho de que la posición y el momento no se desplazan. Como resultado, los componentes del momento orbital no se desplazan entre sí. Cuando usamos\(\left[r_{j}, p_{k}\right]=i \hbar \delta_{j k}\), la relación de conmutación para los componentes de L se convierte en

\[\left[L_{i}, L_{j}\right]=i \hbar \epsilon_{i j k} L_{k}.\tag{7.2}\]

Un conjunto de relaciones como esta se llama álgebra, y el álgebra aquí se llama cerrado ya que podemos tomar el conmutador de dos elementos cualesquiera\(L_{i}\) y\(L_{j}\), y expresarlo en términos de otro elemento\(L_{k}\). Otro álgebra cerrada (más simple) es\(\left[x, p_{x}\right]=i \hbar\mathbb{I}\) y\([x, \mathbb{I}]=\left[p_{x}, \mathbb{I}\right]=0\).

Dado que los componentes del momento angular no se desplazan, no podemos encontrar estados propios simultáneos para\(L_{x}, L_{y}\), y\(L_{z}\). Escogeremos uno de ellos, tradicionalmente denotado por\(L_{z}\), y construiremos sus propios estados. Resulta que hay otro operador, una función de todos\(L_{i} \mathrm{s}\), que conmuta con cualquier componente\(L_{j}\), es decir\(\mathbf{L}^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}\). Este operador es único, en que no hay otro operador que se diferencie de una\(L^{2}\) manera no trivial y todavía conmuta con todos\(L_{i} \mathrm{s}\). Ahora podemos construir vectores propios simultáneos para\(L_{z}\) y\(\mathbf{L}^{2}\).

Dado que estamos buscando vectores propios simultáneos para el cuadrado del momento angular y el\(z\) componente -componente, esperamos que los vectores propios estén determinados por dos números cuánticos,\(l\), y\(m\). Primero, y sin ningún conocimiento previo, podemos anotar formalmente la ecuación del valor propio para\(L_{z}\) como

\[L_{z}|l, m\rangle=m \hbar|l, m\rangle,\tag{7.3}\]

donde\(m\) hay algún número real, e incluimos\(\hbar\) para ajustarse a las dimensiones del momento angular. Ahora procederemos con la derivación de la ecuación de valor propio para\(\mathbf{L}^{2}\), y determinaremos los posibles valores para\(l\) y\(m\).

De la definición de\(L^{2}\), tenemos\(\mathbf{L}^{2}-L_{z}^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}\), y

\[\left\langle l, m\left|\mathbf{L}^{2}-L_{z}^{2}\right| l, m\right\rangle=\left\langle l, m\left|L_{x}^{2}+L_{y}^{2}\right| l, m\right\rangle \geq 0\tag{7.4}\]

Por lo tanto, el espectro de\(L_{z}\) está limitado por

\[l \leq m \leq l\tag{7.5}\]

por algún valor de\(l\). Derivamos los valores propios de estas restricciones\(\mathbf{L}^{2}\) dadas. Primero, definimos los operadores de escalera

\[L_{\pm}=L_{x} \pm i L_{y} \quad \text { with } \quad L_{-}=L_{+}^{\dagger}.\tag{7.6}\]

Las relaciones de conmutación con\(L_{z}\) y\(\mathbf{L}^{2}\) son

\[\left[L_{z}, L_{\pm}\right]=\pm \hbar L_{\pm}, \quad\left[L_{+}, L_{-}\right]=2 \hbar L_{z}, \quad\left[L_{\pm}, \mathbf{L}^{2}\right]=0.\tag{7.7}\]

A continuación, calculamos\(L_{z}\left(L_{+}|l, m\rangle\right)\):

\ [\ comenzar {alineado}
L_ {z}\ izquierda (L_ {+} |l, m\ rangle\ derecha) &=\ izquierda (L_ {+} L_ {z} +\ izquierda [L_ {z}, L_ {+}\ derecha]\ derecha) |l, m\ rangle=m\ hbar L_ {+} |l, m\ rangle+\ hbar L_ {+} |l, m\ rangle\\
& =( m+1)\ hbar L_ {+} |l, m\ rangle.
\ end {alineado}\ tag {7.8}\]

Por lo tanto\(L_{+}|l, m\rangle \propto|l, m+1\rangle\). Por razonamiento similar nos encontramos con eso\(L_{-}|l, m\rangle \propto|l, m-1\rangle\). Como ya lo determinamos\(-l \leq m \leq l\), también debemos exigir que

\[L_{+}|l, l\rangle=0 \quad \text { and } \quad L_{-}|l,-l\rangle=0.\tag{7.9}\]

Contando los estados entre\(-l\) y\(+l\) en pasos de uno, encontramos que hay\(2 l+1\) diferentes autoestados para\(L_{z}\). Dado que\(2 l+1\) es un entero positivo,\(l\) debe ser un semientero\(\left(l=0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \ldots\right)\). Posteriormente restringiremos esto más a\(l=0,1,2, \ldots\)

El siguiente paso para encontrar los valores propios de\(\mathbf{L}^{2}\) es calcular la siguiente identidad:

\[L_{-} L_{+}=\left(L_{x}-i L_{y}\right)\left(L_{x}+i L_{y}\right)=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+i\left[L_{x}, L_{y}\right]=\mathbf{L}^{2}-L_{z}^{2}-\hbar L_{z}\tag{7.10}\]

Luego podemos evaluar

\[L_{-} L_{+}|l, l\rangle=0 \Rightarrow\left(\mathbf{L}^{2}-L_{z}^{2}-\hbar L_{z}\right)|l, l\rangle=\mathbf{L}^{2}|l, l\rangle-\left(l^{2}+l\right) \hbar^{2}|l, l\rangle=0\tag{7.11}\]

Se deja como ejercicio (ver ejercicio 1b) para demostrar que

\[\mathbf{L}^{2}|l, m\rangle=l(l+1) \hbar^{2}|l, m\rangle.\tag{7.12}\]

Ahora hemos derivado los valores propios para\(L_{z}\) y\(\mathbf{L}^{2}\).

Un aspecto de nuestro tratamiento algebraico del momento angular que aún tenemos que determinar son los elementos de la matriz de los operadores de escalera. Nuevamente usamos la relación entre\(L_{\pm}\), y\(L_{z}\) y\(\mathbf{L}^{2}\):

\[\left\langle l, m\left|L_{-} L_{+}\right| l, m\right\rangle=\sum_{j=-l}^{l}\left\langle l, m\left|L_{-}\right| l, j\right\rangle\left\langle l, j\left|L_{+}\right| l, m\right\rangle.\tag{7.13}\]

Ambos lados se pueden reescribir como

\[\left\langle l, m\left|\mathbf{L}^{2}-L_{z}^{2}-\hbar L_{z}\right| l, m\right\rangle=\left\langle l, m\left|L_{-}\right| l, m+1\right\rangle\left\langle l, m+1\left|L_{+}\right| l, m\right\rangle,\tag{7.14}\]

donde en el lado derecho usamos que solo sobrevive el\(m+1\) término. Esto lleva a

\[[l(l+1)-m(m+1)] \hbar^{2}=\left|\left\langle l, m+1\left|L_{+}\right| l, m\right\rangle\right|^{2}.\tag{7.15}\]

Los operadores de escalera entonces actúan como

\[L_{+}|l, m\rangle=\hbar \sqrt{l(l+1)-m(m+1)}|l, m+1\rangle,\tag{7.16}\]

y

\[L_{-}|l, m\rangle=\hbar \sqrt{l(l+1)-m(m-1)}|l, m-1\rangle.\tag{7.17}\]

Hemos visto que\(L\) se cuantifica el momento angular, y que esto da lugar a un espacio de estado discreto parametrizado por los números cuánticos\(l\) y\(m\). No obstante, aún tenemos que restringir los valores de\(l\) más, como se mencionó anteriormente. No podemos hacer esto usando solo el enfoque algebraico (es decir, usando las relaciones de conmutación para\(L_{i}\)), y tenemos que considerar las propiedades espaciales del momento angular. Para ello, escribimos\(L_{i}\) como

\[L_{i}=-i \hbar \epsilon_{i j k}\left(x_{j} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\right),\tag{7.18}\]

que se deriva directamente de la promoción de r y p en la Ec. (7.1) a operadores mecánicos cuánticos. En coordenadas esféricas,

\[r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \quad \phi=\arctan \left(\frac{y}{x}\right), \quad \theta=\arctan \left(\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{z}\right),\tag{7.19}\]

los operadores de momento angular se pueden escribir como

\ [\ begin {alineado}
&L_ {x} =-i\ hbar\ izquierda (-\ sin\ phi\ frac {\ parcial} {\ parcial\ theta} -\ cot\ theta\ cos\ phi\ frac {\ parcial} {\ parcial\ phi}\ derecha)\\
&L_ {y} =-i\ hbar\ izquierda (\ cos\ phi\ frac {\ parcial}\ parcial\ theta} -\ cuna\ theta\ sin\ phi\ frac {\ parcial} {\ parcial\ phi}\ derecha)\\
&L_ {z} =-i\ hbar\ frac {\ parcial} {\ parcial\ phi},\\
&\ mathbf {L} ^ {2} =-\ hbar^ {2}\ izquierda [\ frac {1} {\ sin\ theta}\ frac {\ parcial} {\ parcial\ theta}\ izquierda (\ sin\ theta\ frac {\ parcial} {parcial\ theta}\ derecha) +\ frac {1} {\ sin ^ {2}\ theta}\ frac {\ parcial^ {2}} {\ parcial\ phi^ {2}}\ derecho].
\ end {alineado}\ tag {7.20}\]

La ecuación de valor propio para\(L_{z}\) entonces se convierte en

\[L_{z} \psi(r, \theta, \phi)=-i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi} \psi(r, \theta, \phi)=m \hbar \psi(r, \theta, \phi)\tag{7.21}\]

Podemos resolver esta ecuación diferencial para encontrar que

\[\psi(r, \theta, \phi)=\zeta(r, \theta) e^{i m \phi}.\tag{7.22}\]

Una rotación espacial\(2 \pi\) debe devolver la función de onda a su valor original, ya que\(\psi(r, \theta, \phi)\) debe tener un valor único en cada punto del espacio. Esto lleva a\(\psi(r, \theta, \phi+2 \pi)=\psi(r, \theta, \phi)\) y

\[e^{i m(\phi+2 \pi)}=e^{i m \phi}, \quad \text { or } \quad e^{2 \pi i m}=1\tag{7.23}\]

Esto significa que\(m\) es un entero, lo que a su vez significa que\(l\) debe ser un entero también.