8.1: Estados simétricos y antisimétricos

La indistinguibilidad de partículas idénticas significa que tenemos que ajustar nuestra descripción mecánica cuántica de estos objetos. Hay dos formas de hacerlo, a saber, a través de una modificación de los estados permitidos y a través de una reestructuración de los observables ⁵. En esta sección consideramos el espacio estatal restringido, y en el siguiente estaremos considerando los nuevos observables.

En primer lugar, dado que el número total de partículas es una cantidad observable (por ejemplo midiendo la carga total en la caja), podemos darle a las partículas un etiquetado artificial. Las funciones de onda de las dos partículas son dadas entonces por\(\left|\psi\left(\mathbf{r}_{1}\right)\right\rangle_{1}\) para la partícula 1 en la posición\(\boldsymbol{r}_{1}\), y\(\left|\phi\left(\mathbf{r}_{2}\right)\right\rangle_{2}\) para la partícula 2 en la posición\(\mathbf{r}_{2}\). Dado que podemos intercambiar las posiciones de la partícula sin consecuencias observables, encontramos que hay dos estados que denotan la misma situación física:

\[\left|\psi\left(\mathbf{r}_{1}\right), \phi\left(\mathbf{r}_{2}\right)\right\rangle_{12} \quad \text { and } \quad\left|\psi\left(\mathbf{r}_{2}\right), \phi\left(\mathbf{r}_{1}\right)\right\rangle_{12}.\tag{8.1}\]

Sin embargo, deseamos que cada situación físicamente distinta tenga exactamente un estado cuántico. Como no hay preferencia por ninguno de los dos estados, podemos denotar la situación física de partículas idénticas en posición\(\mathbf{r}_{1}\) y\(\mathbf{r}_{2}\) por el estado cuántico que es un peso igual sobre estas dos posibilidades:

\[\left|\Psi\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right)\right\rangle_{12}=\frac{\left|\psi\left(\mathbf{r}_{1}\right), \phi\left(\mathbf{r}_{2}\right)\right\rangle_{12}+e^{i \varphi}\left|\psi\left(\mathbf{r}_{2}\right), \phi\left(\mathbf{r}_{1}\right)\right\rangle_{12}}{\sqrt{2}}.\tag{8.2}\]

Se puede verificar que el intercambio de las posiciones\(\mathbf{r}_{1}\) y\(\mathbf{r}_{2}\) de las partículas indistinguibles incurre solo en una fase global (no observable). La pregunta ahora es cómo debemos elegir\(\phi\).

Supongamos que las dos partículas idénticas en la caja son electrones. Sabemos Del principio de exclusión de Pauli que los dos electrones no pueden estar en el mismo estado. Por lo tanto\(\phi=\psi\), cuando, el estado en la Ec. (8.2) debe desaparecer naturalmente:

\[\left|\Psi\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right)\right\rangle_{12}=\frac{\left|\psi\left(\mathbf{r}_{1}\right), \psi\left(\mathbf{r}_{2}\right)\right\rangle_{12}+e^{i \varphi}\left|\psi\left(\mathbf{r}_{2}\right), \psi\left(\mathbf{r}_{1}\right)\right\rangle_{12}}{\sqrt{2}}=0,\tag{8.3}\]

lo que significa que para las partículas que obedecen el principio de exclusión de Pauli debemos elegir\(e^{i \varphi}=-1\). El estado cuántico de las dos partículas es antisimétrico.

¿Y las partículas que no obedecen el principio de exclusión de Pauli? Estos deben restringirse a estados que sean ortogonales a los estados antisimétricos. Es decir, deben estar en estados que sean simétricos bajo el intercambio de dos partículas. Para las dos partículas idénticas en una caja, por lo tanto, elegimos el valor\(e^{i \varphi}=+1\), lo que hace que el estado sea ortogonal al estado antisimétrico. Por lo tanto, las dos posibilidades para combinar dos partículas idénticas son

\ [\ begin {alineado}
\ izquierda|\ Psi_ {\ mathrm {S}}\ izquierda (\ mathbf {r} _ {1},\ mathbf {r} _ {2}\ derecha)\ derecha\ rangle &=\ frac {\ izquierda|\ psi\ izquierda (\ mathbf {r} _ _ {1}\ derecha),\ phi\ izquierda (\ mathbf {r} _ {2}\ derecha)\ derecha\ alcance+\ izquierda|\ psi\ izquierda (\ mathbf {r} _ {2}\ derecha),\ phi\ izquierda (\ mathbf {r} _ {1}\ derecha)\ derecha\ rangle} {\ sqrt {2}}\\
\ izquierda|\ Psi_ {\ mathrm {A}}\ izquierda (\ mathbf {r} _ {1},\ mathbf {r} _ {2}\ derecha)\ derecha\ rangle &=\ frac {\ izquierda|\ psi\ izquierda (\ mathbf {r} _ _ {1}\ derecha),\ phi\ izquierda (\ mathbf {r} _ {2}\ derecha)\ derecha\ rangle-\ izquierda|\ psi\ izquierda (\ mathbf {r} _ {2}\ derecha),\ phi\ izquierda (\ mathbf {r} _ {1}\ derecha)\ derecha\ rangle} {\ sqrt {2}}
\ end {alineado }\ tag {8.4}\]

Estos estados incluyen tanto los grados internos de libertad, como el giro, como los grados externos de libertad. Entonces dos electrones aún pueden estar en el estado\(|\uparrow \uparrow\rangle\), siempre y cuando su función de onda espacial sea antisimétrica. Las partículas que se encuentran en un estado cuántico global simétrico son bosones, mientras que las partículas en un estado antisimétrico general son fermiones.

Podemos extender esto a\(N\) las partículas de una manera bastante sencilla. Para los bosones, sumamos todas las posibles permutaciones de\(\mathbf{r}_{1}\) a\(\mathbf{r}_{N}\):

\[\left|\Psi_{\mathrm{S}}\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}\right)\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{N !}} \sum_{\operatorname{perm}\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}\right)}\left|\psi_{1}\left(\mathbf{r}_{1}\right), \ldots, \psi_{N}\left(\mathbf{r}_{N}\right)\right\rangle.\tag{8.5}\]

Para los fermiones, las permutaciones impares recogen un signo menos relativo:

\[\left|\Psi_{\mathrm{A}}\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}\right)\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{N !}} \sum_{\text {even }}\left|\psi_{1}\left(\mathbf{r}_{1}\right), \ldots, \psi_{N}\left(\mathbf{r}_{N}\right)\right\rangle-\frac{1}{\sqrt{N !}} \sum_{\text {odd }}\left|\psi_{1}\left(\mathbf{r}_{1}\right), \ldots, \psi_{N}\left(\mathbf{r}_{N}\right)\right\rangle\tag{8.6}\]

Esto se puede escribir de forma compacta como el llamado determinante de Slater

\ [\ Psi_ {\ mathrm {A}}\ izquierda (\ mathbf {r} _ {1},\ ldots,\ mathbf {r} _ _ {N}\ derecha) =\ frac {1} {\ sqrt {N!}} \ izquierda|\ begin {array} {cccc}
\ psi_ {1}\ izquierda (\ mathbf {r} _ {1}\ derecha) &\ psi_ {1}\ izquierda (\ mathbf {r} _ {2}\ derecha) &\ ldots &\ psi_ {1}\ izquierda (\ mathbf {r} _ {N}\ derecha)\
\ psi_ {2}\ izquierda (\ mathbf {r} _ {1}\ derecha) &\ psi_ {2}\ izquierda (\ mathbf {r} _ {2}\ derecha) &\ ldots &\ psi_ {2}\ izquierda (\ mathbf {r} _ {N}\ derecha)\\
\ vdots &\ vdots &\ ddots &\ vdots\
\ psi_ {N}\ izquierda (\ mathbf {r} _ {1}\ derecha) &\ psi_ {N}\ izquierda (\ mathbf {r} _ {2}\ derecha) &\ ldots &\ psi_ {N}\ izquierda (\ mathbf {r} _ {N}\ derecha)
\ end {array}\ derecha|,\ tag {8.7}\]

donde retiramos los kets por conveniencia notacional. Las partículas de N en el estado obedecen\(\left|\Psi_{\mathrm{A}}\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}\right)\right\rangle\) automáticamente al principio de exclusión de Pauli.

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⁵ A esto se le llama a veces segunda cuantificación. Este es un nombre inapropiado, ya que la cuantificación ocurre sólo una vez, cuando los observables son promovidos a los operadores.