8.6: Problemas de ejercicio

8.1. Demostrar que la Ec. (30) efectivamente rinde\(E_{\mathrm{g}}{ }^{(1)}=(5 / 4) E_{\mathrm{H}}\).

8.2. Para un gas diluido de átomos de helio en su estado fundamental, con\(n\) átomos por unidad de volumen, calcule su:

(i) susceptibilidad eléctrica\(\chi_{\mathrm{e}}\), y

ii) susceptibilidad magnética\(\chi_{\mathrm{m}}\),

y comparar los resultados.

Sugerencia: Puede utilizar la solución modelo de Problemas\(6.8\) y\(6.14\), y los resultados de la descripción variacional del estado fundamental del átomo de helio en la Sec. 2.

8.3. Calcular los valores de expectativa de los siguientes observables:\(\mathbf{s}_{1} \cdot \mathbf{s}_{2}, S^{2} \equiv\left(\mathbf{s}_{1}+\mathbf{s}_{2}\right)^{2}\)\(S_{z} \equiv\)\(s_{1 z}+s_{2 z}\), y, para los estados singlete y triplete del sistema de dos vueltas-1/2, definidas por las ecuaciones (18) y (21), directamente, sin utilizar la Ec. general (48). Comparar los resultados con los del sistema de dos vectores geométricos clásicos de longitud\(\hbar / 2\) cada uno.

8.4. Discutir los factores\(\pm 1 / \sqrt{2}\) que participan en las ecuaciones (18) y (20) para los estados enredados del sistema de dos hilas-1/2, en términos de coeficientes de Clebsh-Gordan similares a los discutidos en la Sec. 5.7.

8.5. \({ }^{*}\)Utilizar la teoría de la perturbación para calcular la contribución a la denominada división hiperfina de la energía terrestre del átomo de hidrógeno,\({ }^{100}\) debido a la interacción entre los espines de su núcleo (protón) y electrón.

Sugerencia: El operador de momento magnético del protón es descrito por la misma Ec. (4.115) como el electrón, pero con un factor giromagnético positivo\(\gamma_{\mathrm{p}}=g_{\mathrm{p}} e / 2 m_{\mathrm{p}} \approx 2.675 \times 10^{8} \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{~T}^{-1}\), cuya magnitud es mucho menor que la del electrón\(\left(\left|\gamma_{\mathrm{e}}\right| \approx 1.761 \times 10^{11} \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{~T}^{-1}\right)\), debido a la masa mucho mayor,\(m_{\mathrm{p}} \approx\) \(1.673 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} \approx 1,835 m_{\mathrm{e}}\). (El\(g\) factor -del protón también es diferente\(g_{\mathrm{p}} \approx 5.586 .{ }^{101}\))

8.6. En el simple caso de solo dos partículas similares que interactúan con espín, distinguibles por su ubicación espacial, el famoso modelo de ferromagnetismo de Heisenberg\(^{102}\) se reduce al siguiente hamiltoniano:\[H=-J \hat{\mathbf{s}}_{1} \cdot \hat{\mathbf{s}}_{2}-\gamma \mathscr{B} \cdot\left(\hat{\mathbf{s}}_{1}+\hat{\mathbf{s}}_{2}\right),\] dónde\(J\) está la constante de interacción de espín, \(\gamma\)es la relación giromagnética de cada partícula, y\(\mathscr{B}\) es el campo magnético externo. Encuentra los estados estacionarios y las energías de este sistema para\(1 / 2\) las partículas de espín.

8.7. Dos partículas, ambas con relación de giro-\(1 / 2\) pero diferentes giromagnéticas\(\gamma_{1}\) y\(\gamma_{2}\), se colocan al campo magnético externo\(\mathscr{B}\). Además, sus giros interactúan como en el modelo de Heisenberg:\[\hat{H}_{\text {int }}=-J \hat{\mathbf{s}}_{1} \cdot \hat{\mathbf{s}}_{2} .\] Encuentra los estados propios y las energías propias del sistema.

8.8. Dos\(1 / 2\) partículas de espín similares, con relación giromagnética\(\gamma\), localizadas en dos puntos separados por la distancia\(a\), interactúan a través del campo de sus momentos dipolares magnéticos. Calcular estados estacionarios y energías del sistema.

8.9. Considera la permutación de dos partículas idénticas, cada una de espín\(s\). ¿Cuántos estados de giro simétricos y antisimétricos diferentes puede tener el sistema?

8.10. Para un sistema de dos partículas idénticas con\(s=1\):

(i) Listar todos los estados de giro que forman la base de representación desacoplada.

(ii) Listar todos los pares posibles\(\left\{S, M_{S}\right\}\) de los números cuánticos que describen los estados de la base de representación acoplada - véase la Ec. (48).

iii) ¿Cuál de los\(\left\{S, M_{S}\right\}\) pares describe a los estados simétricos, y cuáles los estados antisimétricos, con respecto a la permutación de partículas?

8.11. Representar a los operadores de la energía cinética total y el momento angular orbital total de un sistema de dos partículas, con masas\(m_{1}\) y\(m_{2}\), como combinaciones de términos que describen el movimiento del centro de masa y el movimiento relativo. Utilice los resultados para calcular el espectro de energía del llamado positronio, un “átomo” metaestable 103 que consiste en un electrón y su antipartícula cargada positivamente, el positrón.

8.12. Dos partículas con masas\(m\) y cargas similares\(q\) son libres de moverse a lo largo de un anillo redondo y plano de radio\(R\). En el límite de la fuerte interacción de Coulomb de las partículas, encontrar las energías propias más bajas del sistema, y esbozar el sistema de sus niveles de energía. Discutir los posibles efectos de la indistinguibilidad de las partículas.

8.13. Los espectros de baja energía de muchas moléculas diatómicas pueden describirse bien modelando la molécula como un sistema de dos partículas conectadas con un resorte ligero y elástico, pero muy rígido. Calcular el espectro energético de una molécula dentro de este modelo. Discutir los posibles efectos de los espines nucleares sobre los espectros de las llamadas moléculas diatómicas homonucleares, formadas por dos átomos similares.

8.14. Dos\(-1 / 2\) partículas espín indistinguibles se atraen entre sí en contacto:\[U\left(x_{1}, x_{2}\right)=-w \delta\left(x_{1}-x_{2}\right), \quad \text { with } w>0,\] pero por lo demás son libres de moverse a lo largo del\(x\) eje. Encuentra la energía y la función de onda orbital del estado fundamental del sistema.

8.15. Calcular el espectro energético del sistema de dos\(1 / 2\) partículas espín idénticas, moviéndose a lo largo del\(x\) -eje, lo cual es descrito por el siguiente hamiltoniano:\[\hat{H}=\frac{\hat{p}_{1}^{2}}{2 m_{0}}+\frac{\hat{p}_{2}^{2}}{2 m_{0}}+\frac{m_{0} \omega_{0}^{2}}{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\varepsilon x_{1} x_{2}\right),\] y la degeneración de cada nivel de energía.

8.16. \({ }^{*}\)Dos\(1 / 2\) partículas espín indistinguibles están confinadas para moverse alrededor de un círculo de radio\(R\), e interactúan solo a una distancia de arco muy corta\(l=R \varphi \equiv R\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\) entre ellas, de modo que el potencial de interacción\(U\) puede estar bien aproximado con una función delta de\(\varphi\). Encuentra el estado fundamental y su energía, para los dos casos siguientes:

i) la repulsión “orbital” (independiente del giro):\(\hat{U}=w \delta(\varphi)\),

ii) la interacción espín-espín:\(\hat{U}=-w \hat{\mathbf{s}}_{1} \cdot \hat{\mathbf{s}}_{2} \delta(\varphi)\),

ambos con constante\(w>0\). Analiza las tendencias de tus resultados en los límites\(w \rightarrow 0\) y\(w \rightarrow \infty\).

8.17. Dos partículas de masa\(M\), separadas por dos partículas de masa mucho más ligeras\(m<<M\), se colocan sobre un anillo de radio\(R-\) ver la figura a la derecha. Las partículas rechazan fuertemente al contacto, pero por lo demás, cada una de ellas es libre de moverse a lo largo del anillo. Calcular la parte inferior del espectro energético del sistema.

8.18. \(N\)\(-1 / 2\)las partículas espín indistinguibles se mueven en un potencial cuadrático esféricamente simétrico\(U(\mathbf{r})=m \omega_{0}^{2} r^{2} / 2\). Descuidando la interacción directa de las partículas, encuentra la energía del estado fundamental del sistema.

8.19. Usa las reglas de Hund para encontrar los valores de los números cuánticos\(L, S\), y\(J\) en los estados básicos de los átomos de carbono y nitrógeno. Anota los símbolos Russell-Saunders para estos estados.

8.20. N\ gg 1\) partículas cuánticas indistinguibles que no interactúan se colocan en una pared dura, caja rectangular con lados\(a_{x}, a_{y}\), y\(a_{z}\). Calcular la energía del estado fundamental del sistema, y las fuerzas promedio que ejerce en cada cara de la caja. ¿Podemos caracterizar las fuerzas por cierta presión\(\mathcal{P}\)?

Pista: Considere por separado los casos de bosones y fermiones.

8.21. {} ^ {*}\) Explora el modelo Thomas-Fermi 104 de un átomo pesado, con la carga nuclear\(Q=Z e \gg\)\(e\), en el que la interacción entre los electrones se limita a su contribución al potencial electrostático común\(\phi(\mathbf{r})\). En particular, derivar la ecuación diferencial ordinaria obedecida por la distribución radial del potencial, y utilizarla para estimar el radio efectivo del átomo.

8.22. Utilice el modelo Thomas-Fermi, explorado en el problema anterior, para calcular la energía de unión total de un átomo pesado. Compare el resultado con el del modelo más simple, en que la interacción electrón-electrón de Coulomb es completamente ignorada.

8.23. Un sistema de tres\(1 / 2\) partículas espín similares es descrito por el hamiltoniano de Heisenberg (ver Problemas 6 y 7):\[\hat{H}=-J\left(\hat{\mathbf{s}}_{1} \cdot \hat{\mathbf{s}}_{2}+\hat{\mathbf{s}}_{2} \cdot \hat{\mathbf{s}}_{3}+\hat{\mathbf{s}}_{3} \cdot \hat{\mathbf{s}}_{1}\right),\] dónde\(J\) está la constante de interacción de espín. Encuentra los estados estacionarios y energías de este sistema, y da una interpretación de tus resultados.

8.24. Para un sistema de tres espines-\(1 / 2\), encuentre los autoestados comunes y los valores propios de los operadores\(\hat{S}_{z}\) y\(\hat{S}^{2}\), donde\[\hat{\mathbf{S}} \equiv \hat{\mathbf{s}}_{1}+\hat{\mathbf{s}}_{2}+\hat{\mathbf{s}}_{3}\] está el operador vectorial del giro total del sistema. ¿Los números cuánticos correspondientes\(S\) y\(M_{S}\) obedecen las ecuaciones (48)?

8.25. Explore las propiedades básicas del modelo de Heisenberg (que fue objeto de Problemas 6,7 y 23), para una cadena 1D de\(N\) hilos-1/2:\[\hat{H}=-J \sum_{\{j, j\}} \hat{\mathbf{s}}_{j} \cdot \hat{\mathbf{s}}_{j^{\prime}}-\gamma \mathscr{B} \cdot \sum_{j} \hat{\mathbf{s}}_{j}, \quad \text { with } J>0,\] donde la suma es sobre todos los\(N\) giros, con el símbolo que\(\left\{j, j^{\prime}\right\}\) significa que la primera suma es solo sobre el pares de espín adyacentes. En particular, encontrar el estado fundamental del sistema y sus estados más bajos excitados en ausencia de campo magnético externo\(\mathscr{R}\), y también la dependencia de sus energías en el campo.

Sugerencia: En aras de la simplicidad, puede suponer que la primera suma incluye\(\hat{\mathbf{s}}_{N} \cdot \hat{\mathbf{s}}_{1}\) también el término. (Físicamente, esto significa que la cadena está doblada en un bucle cerrado. \({ }^{105}\))

8.26. Componer el modelo más simple Hamiltonianos, en términos del segundo formalismo de cuantificación, para sistemas de partículas indistinguibles que se mueven en los siguientes potenciales externos:

(i) dos pozos de potencial débilmente acoplados, con interacciones de partículas in situ (dando energía adicional\(J\) por cada par de partículas en el mismo pozo potencial), y

(ii) un potencial 1D periódico, con las mismas interacciones de partículas, en el límite de unión estrecha.

8.27. Para cada uno de los hamiltonianos compuestos en el problema anterior, derivar las ecuaciones de movimiento de Heisenberg para operadores de creación/aniquilación de partículas:

(i) para bosones, y

ii) para fermiones.

8.28. Expresar los vectores ceto de todos los estados Dirac posibles para el sistema de tres indistinguibles

(i) bosones, y

ii) fermiones,

vía los de los estados de una sola partícula\(\beta, \beta^{\prime}\), y\(\beta^{\prime \prime}\) ocupan.

8.29. Explique por qué el resultado perturbador general (8.126), cuando se aplica al\({ }^{4} \mathrm{He}\) átomo, da la\(^{106}\) expresión correcta (8.29) para el estado singlete básico, y las ecuaciones correctas. (8.39) - (8.42) (con el signo menos en la primera de estas relaciones) para los estados tripletes excitados, pero no se pueden describir estos resultados, con el signo más en la Ec. (8.39), para el estado singlete excitado.

8.30. Para un sistema de dos qubits distintos (es decir, sistemas de dos niveles), introducir una\(z\) base razonable de representación desacoplada, y escribir en esta base la\(4 \times 4\) matriz del operador que intercambia sus estados.

8.31. Encuentra un hamiltoniano independiente del tiempo que pueda causar la evolución qubit descrita por las ecuaciones (155). Discutir la relación entre su resultado y el hamiltoniano dependiente del tiempo (6.86).

---

\({ }^{100}\)Este efecto fue descubierto experimentalmente por A. Michelson en 1881 y explicado teóricamente por W. Pauli en\(1924 .\)

\({ }^{101}\)El valor anómalo del\(g\) factor de protones resulta de la estructura compuesta de quark-gluón de esta partícula. (Un cálculo exacto de\(g_{\mathrm{p}}\) sigue siendo un desafío para la cromodinámica cuántica).

\({ }_{102}\)Fue sugerido en 1926, independientemente por W. Heisenberg y P. Dirac. Una discusión sobre los efectos del movimiento térmico en este y otros sistemas similares (especialmente el modelo Ising de ferromagnetismo) se puede encontrar en el Capítulo SM\(4 .\)

\({ }^{103}\)Su vida útil (ya sea\(0.124 \mathrm{~ns}\) o\(138 \mathrm{~ns}\), dependiendo de la configuración paralela o antiparalela de los espines componentes), está limitada por la débil interacción de sus componentes, lo que provoca su aniquilación con la emisión de varios fotones de rayos gamma.

\({ }^{104}\)Fue sugerida en 1927, independientemente, por L. Thomas y E. Fermi.

\({ }^{105}\)Tenga en cuenta que para los sistemas de espín disipativo, las diferencias entre las excitaciones de baja energía de las cadenas 1D de extremo abierto y de extremo cerrado pueden ser sustanciales incluso en el límite,\(N \rightarrow \infty-\) ver, por ejemplo, SM Sec. 4.5. Sin embargo, para nuestro sistema hamiltoniano (y por lo tanto libre de disipación), las diferencias son relativamente pequeñas.

\({ }^{106}\)Correcto en el sentido del primer orden de la teoría de la perturbación.