17.12: Un sistema impulsado

Probablemente sería útil antes de leer esta y la siguiente sección para revisar los Capítulos 11 y 12.

La figura XVII.12 muestra el mismo sistema que la figura XVII.2, excepto que, en lugar de dejarse vibrar por sí sola, la segunda masa está sujeta a una fuerza periódica$F\ =\ \hat{F}\sin\omega t$. Por el momento, supondremos que no hay amortiguación. De cualquier manera, no es una fuerza conservadora, y la ecuación de Lagrange se utilizará en la forma de la Ecuación 13.4.12. Al igual que en la Sección 17.2, la energía cinética es

$$T =\frac{1}{2}m_{1}\dot{x}_{1}^{2}\ +\ \frac{1}{2}m_{2}\dot{x}_{2}^{2}\label{17.12.1}$$

Las ecuaciones de Lagrange son

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{1}}\ -\ \frac{\partial T}{\partial x_{1}}\ =\ P_{1} \label{17.12.2}$$

y

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{2}}\ -\ \frac{\partial T}{\partial x_{2}}\ =\ P_{2}. \label{17.12.3}$$

Tenemos que identificar las fuerzas generalizadas$P_{1}$ y$P_{2}$.

En la posición de no equilibrio, la extensión del resorte de la mano izquierda es$x_{1}$ y así lo es la tensión en ese resorte$f_{1}\ =\ k_{1}x_{1}$. La extensión del resorte de la mano derecha es$x_{2}\ -\ x_{2}$ y así la tensión en ese resorte lo es$f_{2}\ =\ k_{2}(x_{2}-x_{1})$. Si$x_{1}$ se incrementara por$\delta x_{1}$, el trabajo realizado en$m_{1}$ sería$(f_{2}-f_{1})\delta x_{1}$ y por lo tanto la fuerza generalizada asociada a la coordenada$x_{1}$ es$P_{1}\ =\ k_{2}(x_{2}-x_{1})-k_{1}x_{1}$. Si$x_{2}$ se incrementara por$\delta x_{2}$, el trabajo realizado en$m_{2}$ sería$(F-f_{2})\delta x_{2}$ y por lo tanto la fuerza generalizada asociada a la coordenada$x_{2}$ es$P_{2}=\hat{F}\sin\omega t-k_{2}(x_{2}-x_{1})$. Por lo tanto, las ecuaciones lagrangianas del movimiento se convierten

$$m_{1}\ddot{x}_{1}\ +\ (k_{1}+k_{2})x_{1}\ -k_{2}x_{2}\ =\ 0 \label{17.12.4}$$

y

$$m_{2}\ddot{x}_{2}\ +\ k_{2}(x_{2}-x_{1})\ =\ \hat{F}\sin\omega t. \label{17.12.5}$$

Buscar soluciones de la forma$\ddot{x}_{1}=-\omega^{2}x_{1}$ y$\ddot{x}_{2}=-\omega^{2}x_{2}$. Las ecuaciones se convierten

$$(k_{1}+k_{2}-m_{1}\omega^{2})x_{1}\ -\ k_{2}x_{2}\ =\ 0 \label{17.12.6}$$

y

$$-k_{2}x_{1}\ +\ (k_{2}\ -\ m_{2}\omega^{2})x_{2}\ =\ \hat{F}\sin\omega t. \label{17.12.7}$$

Nosotros no, por supuesto, ahora equiparamos los determinantes de los coeficientes a cero (¿por qué no?!) , pero podemos resolver estas ecuaciones para obtener

$$x_{1}\ =\ \frac{k_{2}\hat{F}\sin\omega t}{(k_{1}+k_{2}-m_{1}\omega^{2})(k_{2}-m_{2}\omega^{2})-k_{2}^{2}} \label{17.12.8}$$

y

$$x_{2}\ =\ \frac{(k_{1}+k_{2}-m_{1}\omega^{2})\hat{F}\sin\omega t}{(k_{1}+k_{2}-m_{1}\omega^{2})(k_{2}-m_{2}\omega^{2})-k_{2}^{2}}. \label{17.2.9}$$

Las amplitudes de estos movimientos (y cómo varían con la frecuencia de forzamiento$\omega$) son

$$\hat{x}_{1}\ =\ \frac{k_{2}\hat{F}}{m_{1}m_{2}\omega^{4}\ -\ (m_{1}k_{2}+m_{2}k_{1}+m_{2}k_{2})\omega^{2}+k_{1}k_{2}} \label{17.12.10}$$

y

$$\hat{x}_{2}\ =\ \frac{(k_{1}+k_{2}-m_{1}\omega^{2})\hat{F}}{m_{1}m_{2}\omega^{4}\ -\ (m_{1}k_{2}+m_{2}k_{1}+m_{2}k_{2})\omega^{2}+k_{1}k_{2}} \label{17.12.11}$$

donde he reescrito los denominadores en forma de expresión cuadrática en$\omega^{2}$.

Para ilustración dibujo, en la figura XVII.13, las amplitudes del movimiento de$m_{1}$(continuous curve, in black) and of $m_{2}$(dashed curve, in blue) for the following data:

$\hat{F}=1,\ k_{1}=k_{2}=1,\ m_{1}=3,\ m_{2}=2,$

cuando las ecuaciones se convierten

$$\hat{x}_{1}=\frac{1}{6\omega^{4}-7\omega^{2}+1}=\frac{1}{(6\omega^{2}-1)(\omega^{2}-1)} \label{17.12.12}$$

y

$$\hat{x}_{1}=\frac{2-3\omega^{2}}{6\omega^{4}-7\omega^{2}+1}=\frac{2-3\omega^{2}}{(6\omega^{2}-1)(\omega^{2}-1)} \label{17.12.13}$$

Donde la amplitud es negativa, las oscilaciones están desfasadas con la fuerza$F$. Las amplitudes van al infinito (recordemos que estamos suponiendo aquí cero amortiguamiento) en las dos frecuencias donde los denominadores de Ecuaciones$\ref{17.12.10}$ y$\ref{17.12.11}$ son cero. La amplitud del movimiento de$m_{2}$ es cero cuando el numerador de Ecuación$\ref{17.12.11}$ es cero. Esto es a una frecuencia angular de$\sqrt{\frac{(k_{1}+k_{2})}{m_{1}}}$, que es solo la frecuencia angular del movimiento de$m_{1}$ sostenido por los dos resortes entre dos puntos fijos. En nuestro ejemplo numérico, esto es$\omega\ =\ \sqrt{\frac{2}{3}}\ =\ 0.8165$. Este es un ejemplo de antirresonancia.