1.11: Problemas

1.1. Para la masa y el resorte discutidos (1.1) - (1.8), supongamos que el sistema se cuelga verticalmente en el campo gravitacional de la tierra, con la parte superior del resorte sujeta fija. Mostrar que la frecuencia para las oscilaciones verticales viene dada por (1.5). Explique por qué la gravedad no tiene efecto sobre la frecuencia angular.

1.2a. Encuentra una expresión para cos 7θ en términos de cos θ y sin θ usando exponenciales complejos y la expansión binomial.

b. Haz lo mismo para el pecado 5θ.

c. Utilizar exponenciales complejos para encontrar una expresión\(sin(θ_1 + θ_2 + θ_3)\) en términos de los senos y cosenos de los ángulos individuales.

d. ¿Recuerdas la “fórmula de medio ángulo”?

\[cos^2\frac{θ}{2}=\frac{1}{2}(1+cosθ)?\]

Use exponenciales complejos para probar la “fórmula del quinto ángulo”,

\[cos^5\frac{θ}{5}=\frac{10}{16}cos\frac{θ}{5}+\frac{5}{16}cos\frac{3θ}{5}+\frac{1}{16}cosθ\].

e. Utilizar exponenciales complejos para acreditar la identidad

\[sin6x=sinx(32cos^5x - 23cos^3x + 6cosx)\]

1.3a Escriba\(i+\sqrt{3}\) en el formulario\(Re^{iθ}\). Escribe θ como un número racional multiplicado por π

Haz lo mismo para\(i-\sqrt{3}\)

c. Demostrar que las dos raíces cuadradas de\(Re^{iθ} are ±\sqrt{Re^{\frac{iθ}{2}}}\). Pista: ¡Esto es fácil! No trabajes demasiado duro.

d. Utilizar el resultado de c. para encontrar las raíces cuadradas de 2i y\(2 +2i\sqrt{3}\).

1.4. Encuentra las seis soluciones a la ecuación\(z^6 = 1\) y escribe cada una en la forma A + iB y graficarlas en el plano complejo. Pista: escribe\(z = Re^{iθ}\) para R real y positivo, y encuentra R y θ.

1.5. Encuentra tres soluciones independientes para la ecuación diferencial

\[\frac{d^3}{dt^3}f(t)+f(t) = 0\]

Se deben utilizar exponenciales complejos para derivar las soluciones, pero expresar los resultados en forma real.

1.6. Un bloque de masa M se desliza sin fricción entre dos muelles de constante de resorte K y 2K, como se muestra. El bloque está limitado a moverse solo a izquierda y derecha sobre el papel, por lo que el sistema tiene solo un grado de libertad.

Calcular la frecuencia angular de oscilación. Si la velocidad del bloque cuando está en su posición de equilibrio es v, calcule la amplitud de la oscilación.

1.7. Una partícula de masa m se mueve sobre el eje x con energía potencial

\[V(x)=\frac{E_o}{a^4}(x^4+4ax^3-8a^2x^2)\]

Encuentra las posiciones en las que la partícula está en equilibrio estable. Encuentra la frecuencia angular de pequeñas oscilaciones alrededor de cada posición de equilibrio. ¿Qué quiere decir con pequeñas oscilaciones? Ser cuantitativo y dar una respuesta separada para cada punto de equilibrio estable.

1.8. Para el péndulo de torsión de la figura 1.14, supongamos que el péndulo consta de dos masas de 0.01 kg sobre una varilla de luz de longitud total 0.1 m. Si la constante de resorte generalizada, α, es\(5 × 10^{−7}\) N m. Encuentra la frecuencia angular del oscilador.