2.2: Oscilaciones Forzadas

El oscilador amortiguado con una fuerza motriz armónica, tiene la ecuación de movimiento\[\frac{d^{2}}{d t^{2}} x(t)+\Gamma \frac{d}{d t} x(t)+\omega_{0}^{2} x(t)=F(t) / m ,\]

donde se encuentra la fuerza\[F(t)=F_{0} \cos \omega_{d} t .\]

El\(\omega_{d} / 2 \pi\) se llama la frecuencia de conducción. Observe que no es necesariamente lo mismo que la frecuencia natural\(\omega_{0} / 2 \pi\),, ni es la frecuencia de oscilación del sistema libre, (2.9). Es simplemente la frecuencia de la fuerza externa. Se puede ajustar completamente independientemente de los otros parámetros del sistema. Sería correcto pero incómodo referirse\(\omega_{d}\) como la frecuencia angular de conducción. Simplemente lo llamaremos la frecuencia de conducción, ignorando su carácter angular.

Las frecuencias angulares,\(\omega_{d}\) y\(\omega_{0}\), aparecen en la ecuación de movimiento, (2.15), de maneras completamente diferentes. Hay que tener en cuenta la distinción para entender la oscilación forzada. La frecuencia angular natural del sistema,\(\omega_{0}\), es alguna combinación de las masas y constantes de resorte (o cualquier cantidad física relevante que determine las oscilaciones libres). La frecuencia angular,\(\omega_{d}\), entra sólo a través de la dependencia temporal de la fuerza impulsora. Este es el nuevo aspecto de la oscilación forzada. Para explotar plenamente este nuevo aspecto, buscaremos una solución a la ecuación de movimiento que oscile con la misma frecuencia angular,\(\omega_{d}\), como la fuerza motriz.

Podemos relacionarnos (2.14) con una ecuación de movimiento con una fuerza impulsora compleja\[\frac{d^{2}}{d t^{2}} z(t)+\Gamma \frac{d}{d t} z(t)+\omega_{0}^{2} z(t)=\mathcal{F}(t) / m ,\]

donde\[\mathcal{F}(t)=F_{0} e^{-i \omega_{d} t} .\]

Esto funciona porque la ecuación del movimiento, (2.14), no implica\(i\) explícitamente y porque\[\operatorname{Re} \mathcal{F}(t)=F(t) .\]

Si\(z(t)\) es una solución a (2.16), entonces puedes probar que\(x(t)=\operatorname{Re} z(t)\) es una solución (2.14) tomando la parte real de ambos lados de (2.16).

La ventaja de la compleja fuerza exponencial, en (2.16), es que es irreducible, se comporta simplemente bajo traducciones de tiempo. En particular, podemos encontrar una solución de estado estacionario proporcional a la fuerza impulsora\(e^{-i \omega_{d} t}\), mientras que para la fuerza impulsora real, las\(\sin \omega_{d} t\) formas\(\cos \omega_{d} t\) y se mezclan. Es decir, buscamos una solución de estado estacionario de la forma\[z(t)-\mathcal{A} e^{-i \omega_{d} t}\]

La solución de estado estacionario, (2.19), es una solución particular, no la solución más general a (2.16). Como se discute en el capítulo 1, la solución más general de (2.16) se obtiene añadiendo a la solución particular la solución más general para el libre movimiento del mismo oscilador (soluciones de (2.3)). En general tendremos que incluir estas aportaciones más generales para satisfacer las condiciones iniciales. Sin embargo, como hemos visto anteriormente, todas estas soluciones mueren exponencialmente con el tiempo. Son lo que se llaman soluciones “transitorias”. Es solo la solución de estado estacionario la que sobrevive mucho tiempo en presencia de amortiguación. A diferencia de las soluciones a la ecuación libre de movimiento, la solución de estado estacionario no tiene nada que ver con los valores iniciales del desplazamiento y la velocidad. Está determinado en su totalidad por la fuerza impulsora, (2.17). Explorará las soluciones transitorias en el problema (2.4).

Poniendo (2.19) y (2.17) en (2.16) y cancelando un factor de\(e^{-i \omega_{d} t}\) desde cada lado de la ecuación resultante, obtenemos\[\left(-\omega_{d}^{2}-i \Gamma \omega_{d}+\omega_{0}^{2}\right) \mathcal{A}=\frac{F_{0}}{m} ,\]

o\[\mathcal{A}=\frac{F_{0} / m}{\omega_{0}^{2}-i \Gamma \omega_{d}-\omega_{d}^{2}} .\]

Observe que obtuvimos la solución solo usando álgebra. Esta es la ventaja de comenzar con la solución irreducible, (2.19).

La amplitud, (2.21), del desplazamiento es proporcional a la amplitud de la fuerza impulsora. Esto es justo lo que esperamos de la linealidad (ver problema (2.2)). Pero el coeficiente de proporcionalidad es complejo. Para ver cómo se ve explícitamente, multiplica el numerador y denominador del lado derecho de (2.21) por\(\omega_{0}^{2}+i \Gamma \omega_{d}-\omega_{d}^{2}\), para obtener los números complejos en el numerador\[\mathcal{A}=\frac{\left(\omega_{0}^{2}+i \Gamma \omega_{d}-\omega_{d}^{2}\right) F_{0} / m}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{d}^{2}\right)^{2}+\Gamma^{2} \omega_{d}^{2}} .\]

El número complejo se\(\mathcal{A}\) puede escribir como\(A+i B\), con\(A\) y\(B\) real:\[A=\frac{\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{d}^{2}\right) F_{0} / T n}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{d}^{2}\right)^{2}+\Gamma^{2} \omega_{d}^{2}} ;\]

\[B=\frac{\Gamma \omega_{d} F_{0} / m}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{d}^{2}\right)^{2}+\Gamma^{2} \omega_{d}^{2}}\]

Entonces la solución a la ecuación de movimiento para la fuerza impulsora real, (2.14), es\[x(t)=\operatorname{Re} z(t)=\operatorname{Re}\left(\mathcal{A} e^{-i \omega_{d} t}\right)=A \cos \omega_{d} t+B \sin \omega_{d} t .\]

Así, la solución para la fuerza real es una suma de dos términos. El término proporcional a\(A\) está en fase con la fuerza impulsora (o\(180^{\circ}\) fuera de fase), mientras que el término proporcional a\(B\) está\(90^{\circ}\) desfasado. La ventaja de ir a la compleja fuerza motriz es que nos permite obtener ambos a la vez. Los coeficientes,\(A\) y\(B\), se muestran en la gráfica de la Figura\( 2.4\) para\(\Gamma=\omega_{0} / 2\).

Figura\( 2.4\): Las amplitudes elásticas y absorbentes, trazadas versus\(\omega_{d}\). La amplitud de absorción es la línea punteada.

La parte real de\(\mathcal{A},\),\(A=\operatorname{Re} \mathcal{A}), is called the elastic amplitude and the imaginary part of \(\mathcal{A}\),\(B=\operatorname{Im} \mathcal{A}\), se llama la amplitud de absorción. El motivo de estos nombres se hará evidente a continuación, cuando consideremos el trabajo realizado por la fuerza impulsora.