11.8: Ondas esféricas

Considera las ondas sonoras en una habitación muy grande con paredes absorbentes. En el centro de la habitación (tomaremos el centro de la habitación para ser el origen de nuestro sistema de coordenadas,\(\vec{r} = 0\)) se encuentra un

Figura\( 11.58\): Ambos arcoíris.

altavoz esférico, esfera que produce una presión oscilante en su superficie (en el radio\(R\)) de la forma\(p_{0} \cos \omega t\). ¿Qué tipo de ondas sonoras se producen? Parece bastante tonto usar nuestras soluciones de onda plana con invarianza de traslación espacial para este problema, porque este sistema tiene una simetría bajo rotaciones sobre el origen. En cambio, veamos directamente la ecuación de onda y hagamos uso de la naturaleza esférica del problema. Es decir, supongamos que la solución tiene la forma\(\psi(\vec{r}, t)=\chi(|\vec{r}|, t)\). Poner esto en la ecuación de onda da (con\(r \equiv|\vec{r}|\)) ⁸\ [\ begin {alineado}
&\ frac {1} {v^ {2}}\ frac {\ parcial^ {2}} {\ parcial t^ {2}}\ chi (r, t) =\ vec {\ nabla} ^ {2}\ chi (r, t) =\ vec {\ nabla}\ cdot\ c {\ nabla}\ chi (r, t)\\
&=\ vec {\ nabla}\ cdot (\ vec {\ nabla} r)\ frac {\ parcial} {\ r parcial}\ chi (r, t) =\ vec {\ nabla}\ cdot (\ vec {r}/r)\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ r parcial}\ chi (r, t)
\ final {alineado}\]

\ [\ begin {reunió}
=(\ vec {\ nabla}\ cdot\ vec {r}/r)\ frac {\ parcial} {\ parcial}\ chi (r, t) + (\ vec {\ nabla} r)\ cdot (\ vec {r}/r)\ frac {\ parcial^ {2}} {\ parcial r^ {2}\ chi (r, t)\\
= [(\ vec {\ nabla}\ cdot\ vec {r})/r+\ vec {r}\ cdot\ vec {\ nabla} (1/r)]\ frac {\ parcial} {\ r parcial}\ chi (r, t) + (\ vec {r}/r)\ cdot (\ vec {r}/r)\ frac {\ parcial^ {2}} {\ parcial r^ {2}}\ chi (r, t)\
=\ frac {2} {r}\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ r parcial}\ chi (r, t) +\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial r^ {2}}\ chi (r, t).
\ end {reunido}\]

Podemos reescribir esto en la siguiente forma útil:\[\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \chi(r, t)=\frac{1}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} r \chi(r, t) .\]

Así\(r \chi(r, t)\) satisface la ecuación de onda unidimensional.

Ahora podemos resolver el problema que planteamos anteriormente. Las soluciones para\(r\chi\) tener la forma\(\sin (k r \pm \omega t)\) y\(\cos (k r \pm \omega t)\), donde\(k=\omega / v\). Porque la presión a\(r = R\) es\(p_{0} \cos \omega t\), nos interesan las combinaciones\(\cos (k r-k R-\omega t)\) y\(\cos (k r-k R+\omega t)\). Estos describen olas que van hacia afuera desde y hacia adentro hacia el origen respectivamente. La condición límite apropiada en el infinito es tomar la onda saliente, de manera que la perturbación sea producida enteramente por el hablante. Así\[\chi(r, t)=\frac{p_{0} R}{r} \cos (k r-k R-\omega t) .\]

Las características generales de la solución, (11.174), son fáciles de entender. Los frentes de onda, a lo largo de los cuales la fase de oscilación es constante, son esferas centradas alrededor del origen, ya que deben ser por la simetría rotacional. Las olas salen del origen a velocidad\(v\). A medida que se mueven hacia afuera, su intensidad local debe disminuir, porque la misma cantidad de energía se está distribuyendo sobre un área mayor. Esta es la razón de la\(1 / r\) en (11.174). Si la amplitud cae como\(1 / r\), la intensidad de la ola cae como\(1 / r^{2}\), como debe. Aunque la física es clara, la forma precisa de esta solución es engañosamente simple. En dos dimensiones, por ejemplo, no es posible encontrar una solución a un problema análogo utilizando las funciones que conoces de la preparatoria. En dos dimensiones, la amplitud de la onda debe disminuir aproximadamente como\(1 / \sqrt{r}\). Las soluciones a la ecuación de onda bidimensional con esta propiedad se denominan funciones de Bessel. Aprenderás sobre ellos en cursos más avanzados.

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⁸ Si has visto coordenadas esféricas, tal vez recuerdes que no puedes computar el laplaciano,\(\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla}}\), simplemente como\(\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}\). No hace falta que recuerdes los detalles aquí porque los calculamos desde cero para la función,\(\chi(|\vec{r}|, t)\).