12.3: Placas Onduladas y Polarizadores

Una razón por la que la polarización es importante es que el estado de polarización de una onda electromagnética se puede manipular fácilmente. Dos de los dispositivos más importantes para dicha manipulación son los polarizadores y las placas de onda.

Luz no polarizada

12-2

En cualquier haz de luz, en cualquier momento y momento dado, el campo eléctrico apunta en una dirección particular. Asimismo, debido a que cualquier onda electromagnética plana con una frecuencia angular definida puede ser descrita por (12.20) y (12.21),\ [\ begin {aligned}
\ vec {E} &=\ operatorname {Re}\ left (\ vec {e} (\ vec {k}) e^ {i\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -i\ omega t}\ right)\
\ vec {B} &=\ operatorname {Re}\ left (\ vec {b} (\ vec {k}) e^ {i\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -i\ omega t}\ derecha)
\ end {alineado}\]
\[\vec{b}(\vec{k})=\frac{1}{\omega} \vec{k} \times \vec{e}(\vec{k})=\frac{n}{c} \hat{k} \times \vec{e}(\vec{k}) \quad \text { and } \quad \hat{k} \cdot \vec{e}(\vec{k})=0.\]

cada onda plana está polarizada. Sin embargo, en un haz “no polarizado”, la onda de luz consiste en un rango de frecuencias angulares con diferentes polarizaciones. Como resultado de la interferencia de los diferentes componentes armónicos de la onda, la polarización deambula más o menos aleatoriamente en función del tiempo y del espacio, y en promedio, no se escoge ninguna polarización particular. Un ejemplo sencillo de cómo se ve esto es animado en el programa 12-2, donde trazamos un campo eléctrico de la forma\ [\ begin {aligned}
&E_ {x} (t) =\ cos\ left (\ omega_ {1} t+\ phi_ {1}\ right) +\ cos\ left (\ omega_ {2} t+\ phi_ {2}\ right),\\
&E_ {y} (t) =\ cos\ izquierda (\ omega_ {3} t+\ phi_ {3}\ derecha) + \ cos\ izquierda (\ omega_ {4} t+\ phi_ {4}\ derecha),
\ fin {alineado}\]

donde las fases son aleatorias y las frecuencias se eligen al azar en un rango pequeño alrededor de una frecuencia central. Se puede observar el\(\vec{E}\) campo deambulando en el\(x\)\(y\) avión, eventualmente llenándolo. Cuanto más estrecho es el rango de frecuencias en la onda, más lentamente vaga la polarización. En el ejemplo del programa 12-2, el rango de frecuencias es del orden del 10% de la frecuencia central, por lo que la polarización deambula rápidamente. Pero para un haz con una frecuencia bastante bien definida, la polarización será casi constante a lo largo de muchos ciclos de la onda. El tiempo durante el cual la polarización es aproximadamente constante se denomina tiempo de coherencia de la onda. Para una onda plana de frecuencia definida, el tiempo de coherencia es infinito.

Polarizadores

Un “polarizador” es un dispositivo que permite que la luz polarizada en una dirección particular (el “eje de transmisión fácil” del polarizador) pase con muy poca absorción, pero absorbe la mayor parte de la luz polarizada en la dirección perpendicular. Así, un haz de luz no polarizado, que pasa a través del polarizador, emerge polarizado a lo largo del eje fácil.

Para las oscilaciones transversales de una cuerda, un polarizador es simplemente una hendidura que permite que la cuerda oscile en una dirección transversal pero no en la dirección perpendicular.

Para las ondas electromagnéticas, el ejemplo más familiar de un polarizador, Polaroid, fue inventado por Edwin Land hace más de 50 años, en parte en experimentos realizados en el ático del Laboratorio de Física Jefferson, donde trabajó como licenciatura en Harvard. La idea de polaroid es hacer material que conduzca la electricidad (mal) en una dirección, pero no en la otra. Entonces se absorberá el campo eléctrico en la dirección conductora (la energía va a la pérdida resistiva), mientras que el campo eléctrico en la dirección no conductora no se verá afectado. Una forma de hacerlo es hacer láminas de polímero (alcohol polivinílico) estiradas (para alinear las moléculas de polímero a lo largo de un eje preferido) y dopadas con yodo (para permitir la conducción a lo largo de las moléculas de polímero). ²

Placas Onduladas

Las “placas de onda” son elementos ópticos que cambian la fase relativa de los dos componentes de\(Z\). Las placas onduladas son posibles porque hay materiales en los que el índice de refracción depende de la polarización. Esta propiedad se llama “birrefringencia”. Puede suceder de varias maneras.

Por ejemplo, el material polimérico transparente celofán se convierte en láminas delgadas mediante estiramiento. Debido al estiramiento, las hebras de polímero tienden a orientarse a lo largo de la dirección de estiramiento. La constante dieléctrica en este material depende de la dirección del campo eléctrico. Es más fácil que las cargas se muevan a lo largo de las hebras de polímero que a través de ellas. Así, la constante dieléctrica es mayor para los campos eléctricos en la dirección de estiramiento.

El mismo efecto puede surgir debido a la estructura inherente de un cristal transparente. Un ejemplo es el mineral natural, la calcita, una forma cristalina de carbonato de calcio,\(CaCO_{3}\). Los cristales de calcita tienen la fascinante propiedad de dividir un haz de luz no polarizada en sus dos estados de polarización. La birrefringencia incluso se puede producir mecánicamente, al estresar un material transparente, apretando la estructura electrónica en una dirección.

Sin embargo se produce la birrefringencia, podemos hacer una placa ondulada orientando el material de manera que las\(y\) direcciones\(x\) y correspondan a diferentes índices de refracción\(n_{y}\),\(n_{x}\) y, y luego haciendo una rebanada del material en forma de placa en el\(x\) -\(y\) plano, con cierto grosor\(\ell\) en la\(z\) dirección. Ahora una onda electromagnética que viaja en la\(z\) dirección a través de la placa tiene diferentes\(k\) valores dependiendo de su polarización:\ [k=\ left\ {\ begin {array} {l}
\ frac {n_ {x}} {c}\ omega\ text {para polarización en el} x\ text {dirección}\
\ frac {n_ {y}} {c}\ omega \ text {para polarización en el} y\ texto {dirección}
\ end {array}\ right.\]

En particular, la diferencia de fase, entre\(x\) y la luz\(y\) polarizada al pasar a través de la placa es\[\Delta \phi=\frac{n_{x}-n_{y}}{c} \omega \ell .\]

Tenga en cuenta que en general la diferencia de fase\(\Delta \phi\),, depende de la frecuencia de la luz. Aunque\(n_{x}\) y\(n_{y}\) dependa de la frecuencia, sería un extraño accidente si esa dependencia cancelara la\(\omega\) dependencia del factor explícito de\(\omega\) in (12.39).

Figura\( 12.5\): Luz inicialmente no polarizada que pasa a través de un par de polarizadores cruzados con una placa de onda en el medio.

Consideremos, ahora, poner tal placa de onda entre dos polarizadores cruzados, orientados a\(\pm 45^{\circ}\), como se muestra en la Figura\( 12.5\). Sin la placa de onda, ninguna luz pasaría porque el primer polarizador transmite solo luz polarizada a\(45^{\circ}\), descrita por el\(Z\) vector\ [Z=\ left (\ begin {array} {l}
1/\ sqrt {2}\\
1/\ sqrt {2}
\ end {array}\ right)\]

y el segundo polarizador lo absorbe.

Saliendo del primer polarizador, el vector,\(Z\), parece (12.40) para todos los componentes de frecuencia en la luz blanca. Pero cuando la placa de onda se inserta en el medio, se agrega una diferencia de fase dependiente de la frecuencia, de modo que el\(Z\) vector que sale de la placa de onda (hasta una fase general irrelevante) se ve como\ [Z=\ left (\ begin {array} {c}
1/\ sqrt {2}\\
e^ {-i\ Delta\ phi}/\ sqrt {2}
\ end {array}\ right).\]

Para frecuencias tales que\(e^{-i \Delta \phi}\) es −1, la luz se polariza en la\(45^{\circ}\) dirección −, y pasa\(e^{-i \Delta \phi}\) a través del segundo polarizador sin más atenuación. Pero para frecuencias tales que e es 1, la luz sigue siendo absorbida por el segundo polarizador. Las frecuencias intermedias son parcialmente absorbidas.

Es esta dependencia de frecuencia la que produce los interesantes patrones de color que ves cuando pones celofán o una pieza de plástico estresada entre polarizadores.

Matrices

Los efectos de las placas de onda y polarizadores y similares pueden resumirse multiplicando el\(Z\) vector por matrices 2×2. Por ejemplo, un polarizador perfecto con un eje en un ángulo\(\theta\) desde el eje 1 puede ser representado por\ [P_ {\ theta} =\ left (\ begin {array} {cc}
\ cos ^ {2}\ theta &\ cos\ theta\ sin\ theta\
\ cos\ theta\ sin\ theta &\ sin ^ {2}\ theta
\ end {array}\ right).]

El objeto\(P_{\theta}\) se llama “operador de proyección”, porque proyecta el vector en la dirección paralela a\(u_{\theta}\). Satisface\[P_{\theta} P_{\theta}=P_{\theta},\]

como debe, ya que el primer polarizador produce luz polarizada y el segundo la transmite perfectamente. \(P_{\theta}\)actuando sobre un vector transmite el componente en la\(\theta\) dirección. Esto es más fácil de visualizar si\(\theta = 0\) o\(\pi / 2\). Las matrices\ [P_ {0} =\ left (\ begin {array} {ll}
1 & 0\\
0 & 0
\ end {array}\ right),\ quad P_ {\ pi/2} =\ left (\ begin {array} {ll}
0 & 0\\
0 & 1
\ end {array}\ right),\]

representan polarizadores a lo largo de los ejes 1 y 2 respectivamente.

Una placa de onda en la que la diferencia de fase\(\pi / 2\) se llama “placa de cuarto de onda”. Para una placa de onda en la que la diferencia de fase está entre 0 y\(\pi\), es convencional llamar al eje con la fase más pequeña el “eje rápido”. Una placa de cuarto de onda con eje rápido a lo largo del eje 1 está representada por\ [Q_ {0} =\ left (\ begin {array} {ll}
1 & 0\\
0 & i
\ end {array}\ right).\]

Observe que podemos escribir\[Q_{0}=P_{0}+i P_{\pi / 2} .\]

Esto debería convencerte de que en general si el eje rápido está en la\(\theta\) dirección, la placa de cuarto de onda se ve como\[Q_{\theta}=P_{\theta}+i P_{\theta+\pi / 2} .\]

La discusión de (12.39) muestra que en general, una placa de onda solo será una placa de cuarto de onda para luz de una frecuencia definida.

Una placa de onda en la que la diferencia de fase\(\pi\) se llama “placa de media onda”. Se obtiene una placa de media onda reemplazando el\(i\) in (12.45) - (12.47) por -1. Así,\[H_{\theta}=P_{\theta}-P_{\theta+\pi / 2} .\]

Observe que\[H_{\theta}=Q_{\theta} Q_{\theta};\]

las placas de dos cuartos de onda hacen una placa de media onda.

Figura\( 12.6\): Producir luz polarizada circularmente.

Aquí hay dos dispositivos divertidos que puedes hacer con estos elementos ópticos (o matrices). Considere la combinación de primero un polarizador en\(45^{\circ}\) y luego una placa de cuarto de onda, como se muestra en la Figura\( 12.6\). Al formar el producto matriz,\(Q_{0} P_{\pi / 4}\), se puede ver que esto produce luz polarizada circularmente en sentido antihorario de cualquier cosa con un componente de polarización en la\(\pi / 4\) dirección. El argumento va así. El producto es\ [Q_ {0} P_ {\ pi/4} =\ left (\ begin {array} {cc}
1 & 0\\
0 & i
\ end {array}\ right)\ left (\ begin {array} {cc}
1/2 & 1/2/2/2 & 1/2/2
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {cc}

/2 & 1/2\\
i/2 & i/2
\ end {array}\ derecho).\]

Cuando esto actúa sobre un vector arbitrario se obtiene polarización circularmente a menos que el vector sea aniquilado por\(P_{\pi / 4}\). \ [Q_ {0} P_ {\ pi/4}\ izquierda (\ begin {array} {l}
\ psi_ {1}\
\ psi_ {2}
\ end {array}\ right) =\ frac {\ psi_ {1} +\ psi_ {2}} {2}\ left (\ begin {array} {l}
1\\
i
\ end {array}\ right).\]

En el orden opuesto,\(P_{\pi / 4} Q_{0}\) se encuentra un analizador de luz polarizada circularmente. Aniquila la luz en sentido antihorario y convierte la luz polarizada en sentido horario en luz polarizada linealmente en la\(\pi / 4\) dirección.

Actividad óptica

La “actividad óptica” es una propiedad de muchos compuestos orgánicos y algunos inorgánicos. Un material ópticamente activo gira la polarización de la luz sin absorber ninguno de los componentes de la polarización. Un ejemplo familiar de tal material es el jarabe de maíz, una solución acuosa espesa de azúcar que probablemente tengas en tu cocina. Si pones un recipiente rectangular de jarabe de maíz entre polarizadores, como se muestra en la figura\( 12.7\), y giras el segundo polarizador hasta que la intensidad de la luz que pasa sea máxima, encontrarás que la dirección del segundo polarizador no es la misma que la del primero. El plano de la polarización ha sido girado en cierto ángulo\(\theta\). El ángulo de rotación\(\theta\),, es proporcional al grosor del recipiente, la longitud de la región de jarabe por la que atraviesa la luz.

Figura\( 12.7\): Un recipiente rectangular de jarabe de maíz entre polarizadores.

Claramente, la actividad óptica del jarabe de maíz no puede depender de la estructura cristalina, porque la materia es un líquido perfectamente uniforme, completamente invariante bajo rotaciones en el espacio tridimensional. No puede tener ejes especiales, ni tal cosa. La actividad óptica debe funcionar de manera muy diferente a la birrefringencia.

Puedes encontrar una pista sobre la naturaleza de la actividad óptica considerando cómo se ve si la miras en un espejo. Si refleja el sistema ilustrado en Figura\( 12.7\) en el\(z\) plano\(x\) -, cambiando el signo de todas las\(y\) coordenadas, el ángulo\(\theta\) cambia a −\(\theta\). Así el sirope de maíz que ves en un espejo debe ser fundamentalmente diferente del sirope de maíz en tu cocina. Esto no es tan extraño. Después de todo, tu mano derecha se ve como una mano izquierda cuando la miras en un espejo. El jarabe de maíz debe tener la misma propiedad y tener una “mano” definida. De hecho, debido a la unión tetraédrica de los átomos de carbono de los que están construidos, las moléculas de azúcar en el jarabe de maíz pueden y tienen tal mano.

Debido a la mano de las moléculas de azúcar, el índice de refracción del jarabe de maíz en realidad depende de la mano de la luz. Es ligeramente diferente para la luz polarizada circularmente izquierda y derecha. Esto sucede porque el\(\vec{E}\) campo de un haz polarizado circularmente se tuerce ligeramente a medida que atraviesa cada molécula de azúcar y ve una estructura electrónica ligeramente diferente dependiendo de la dirección del giro. Entonces, debido a que los índices de refracción son ligeramente diferentes, los componentes polarizados circularmente izquierda y derecha de la luz obtienen diferentes factores de fase (\(k \ell\)) al pasar por un espesor\(\ell\),, del jarabe.

Ahora podemos usar nuestro lenguaje matricial para ver cómo esto lleva a la actividad óptica. Hasta una fase general irrelevante, podemos elegir la fase producida en la luz polarizada circularmente a la izquierda para ser −\(\theta\) y la de la luz polarizada circularmente derecha para ser\(\theta\). Entonces podemos representar la acción del jarabe sobre una onda arbitraria por la matriz\[e^{-i \theta} P_{+}+e^{i \theta} P_{-} ,\]

donde\(P_{\pm}\) están las matrices que escogen los componentes polarizados circularmente a la izquierda y a la derecha, respectivamente. Satisfacen\ [P_ {\ pm}\ left (\ begin {array} {c}
1\
\\ pm i
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {c}
1
\\ pm i
\ end {array}\ right),\ quad P_ {\ pm}\ left (\ begin {array} {c}
1\
\ mp i
\ end {array}\ right) =0.\]

Puedes comprobar que las matrices son\ [P_ {\ pm} =\ frac {1} {2}\ left (\ begin {array} {cc}
1 &\ mp i\
\ pm i & 1
\ end {array}\ right).\]

Entonces (12.52) se convierte en\ [e^ {-i\ theta}\ frac {1} {2}\ left (\ begin {array} {cc}
1 & -i\\
i & 1
\ end {array}\ derecha) +e^ {i\ theta}\ frac {1} {2}\ left (\ begin {array} {cc}
1 & i\
-i & 1
\ end {array}\ derecha) =\ izquierda (\ begin {matriz } {cc}
\ cos\ theta & -\ sin\ theta\
\ sin\ theta &\ cos\ theta
\ end {array}\ derecha).\]

Esta es solo la matriz de rotación\(R_{\theta}\), de (12.34)! \(R_{\theta}\)gira ambos componentes de cualquier luz en un ángulo\(\theta\).

Uno podría preguntarse sobre la razón de la mano de las moléculas de azúcar. De hecho, existen procesos físicos, las interacciones débiles que dan lugar a\(\beta\) -radiactividad, que se ven diferentes cuando se reflejan en un espejo ³ y así en principio podrían distinguir entre moléculas zurdas y diestras. Sin embargo, estas interacciones son probablemente irrelevantes para la entrega del jarabe de maíz. Probablemente, la razón es la biología más que la física. Hace mucho tiempo, cuando los inicios de la vida surgieron de la sopa primordial, puramente por accidente, se utilizaron los azúcares diestros. A partir de entonces, la mano fue mantenida por los procesos de reproducción.

Figura\( 12.8\): Luz inicialmente no polarizada que pasa por un par de polarizadores cruzados.

Polarizadores Cruzados y Mecánica Cuántica

La polarización ofrece muchas oportunidades para confundirse cuando piensas en la onda de luz en términos de fotones. Imaginemos bajar la intensidad de la luz hasta el punto en que un fotón a la vez atraviesa los polarizadores y consideremos primero la situación engañosamente simple de la luz que se mueve en\(z\) dirección a través de polarizadores cruzados en el\(x\)\(y\) plano. Supongamos que el primer polarizador transmite luz polarizada en la\(x\) dirección, y el segundo transmite luz polarizada en la\(y\) dirección. Esto es engañosamente sencillo porque parece que podemos interpretar lo que está pasando simplemente en términos de fotones. La situación se representa en la Figura\( 12.8\). Esto parece bastante sencillo de interpretar en términos de fotones. La luz no polarizada en la región\(I\) está compuesta igualmente de fotones polarizados en la\(x\) dirección y en la\(y\) dirección (va el argumento “clásico” equivocado). Los polarizados en la\(x\) dirección pasan por el primer polarizador, por lo que la mitad de los fotones aún están alrededor en la región\(II\), donde la intensidad se reduce a la mitad. Entonces ninguno de estos pasa por el segundo polarizador, de manera que la intensidad en la región\(III\) es cero.

Pero compárelo con la situación aparentemente similar en la que el segundo polarizador transmite luz polarizada\(45^{\circ}\) en el\(y\) plano\(x\) -, como se muestra en la Figura\( 12.9\). Ahora la descripción de la onda nos dice que la intensidad en región\(III\) se reduce en otro factor de 2 a partir de la de la región\(II\). Esto es imposible de interpretar en términos de partículas clásicas. Para ver esto, sólo es necesario bajar la intensidad para que solo pase un fotón a la vez. Entonces el primer polarizador está bien. Como antes, si el fotón se polariza en la\(x\) dirección, pasa a través. Pero ahora lo que sucede en el segundo polarizador. El fotón no puede separarse. O pasa o no lo hace Para ser consistente con la descripción de onda, en la que la intensidad se reduce en otro factor de dos, la transmisión en el segundo polarizador debe ser un evento probabilístico. La mitad del tiempo pasa el fotón. La mitad del tiempo se absorbe. No hay manera de que el

Figura\( 12.9\): Luz inicialmente no polarizada que pasa a través de un par de polarizadores en con ejes en\(45^{\circ}\).

fotón en región\(II\) para decir si va a lograrlo! Es aleatorio. Dios juega a los dados.

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² Ver Sears, Zemansky y Young, página 813.
³ Violan lo que se llama simetría de “paridad”.