12.4: Límite entre dieléctricos

Volvamos al límite plano infinito entre dos dieléctricos que discutimos en el capítulo 9, pero ahora consideremos una onda electromagnética que entra en un ángulo arbitrario. Al igual que en el capítulo 5, vamos a suponer que el límite es el\(z = 0\) plano, y que para\(z < 0\) nosotros tenemos constante dieléctrica\(\epsilon\), mientras que para\(z > 0\), constante dieléctrica\(\epsilon^{\prime}\). Asumimos\(\mu=1\) en todas partes.

Sobre las bases generales de la invarianza de la traducción y las interacciones locales discutidas en el capítulo anterior, todos los componentes de los campos eléctricos y magnéticos tendrán la forma general\ [\ begin {array} {cl}
\ psi (r, t)\ propto e^ {i\ vec {k}\ cdot\ vec {r}} +R e^ {i\ vec {k}\ cdot\ vec {r} &\ texto { para} z\ leq 0\\
\ psi (r, t)\ propto\ tau e^ {i\ vec {k} ^ {\ prime}\ cdot\ vec {r}} &\ text {for} z\ geq 0
\ end {array}\]

donde\[\tilde{k}_{x}=k_{x}, \quad k_{x}^{\prime}=k_{x} ,\]

y\ [\ comenzar {reunido}
\ tilde {k} _ {z} =-\ sqrt {\ omega^ {2}/v^ {2} -k_ {x} ^ {2}} =-k_ {z}\
k_ {z} ^ {\ prime} =\ sqrt {\ omega^ {2}/v^ {\ prime 2} -k_ {x} {2}}
\ fin {reunidos}.\]

Así se cumple la ley de Snell, con\(\theta\) y\(\theta^{\prime}\) se define como se muestra en la Figura\( 12.10\). \ [\ begin {aligned}
&k\ cdot\ sin\ theta=k^ {\ prime}\ sin\ theta^ {\ prime}. \\
&|\ vec {k} |=\ sqrt {\ mu\ épsilon}\ frac {\ omega} {c} =n\ frac {\ omega} {c}\\
&n\ sin\ theta=n^ {\ prime}\ sin\ theta^ {\ prime}.
\ end {alineado}\]

Figura\( 12.10\): Dispersión de ondas planas desde un límite plano.

Los detalles de la dispersión dependerán de la polarización. Es claro (por simetría como de costumbre) que los dos casos serán polarización en el\(z\) plano\(x\) - y polarización perpendicular al\(z\) plano\(x\) -. Por supuesto, no perdemos nada al considerar estos dos por separado, por linealidad. Cualquier polarización para la onda entrante se puede tratar formando una combinación lineal de las soluciones paralelas y perpendiculares.

Polarización Perpendicular al Plano de Dispersión

Consideremos primero la polarización perpendicular. Esto significa que el campo eléctrico está en la\(y\) dirección (fuera del plano del papel), mientras que el campo magnético es el\(x\) -\(z\) plano: ⁴\ [\ begin {reunió}
E_ {y} (r, t) =A e^ {i (\ vec {k}\ vec {r} -\ omega t)} +R_ {\ perp} A e^ {i (\ tilde {k}\ punto\ vec {r} -\ omega t)}\ quad\ text {for} z\ leq 0\\
E_ {y} (r, t) =\ tau_ {\ perp} A e^ {i\ left (\ vec {k} ^ {\ prime}\ cdot\ vec {r} -\ omega t\ derecha)}\ quad\ text {for} z\ geq 0\\
E_ z {} =E_ {x} =0
\ fin {reunidos}\]

Usando (12.19))\[\vec{B}=\frac{n}{c} \hat{k} \times \vec{E}=\frac{1}{\omega} \vec{k} \times \vec{E} ,\]

podemos escribir\ [\ begin {array} {rlr}
B_ {x} (r, t) =-\ frac {n} {c} A\ cos\ theta e^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ omega t)} +\ frac {n} {c}\ cos\ theta R_ {\ perp} A e^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ omega t)} &\ texto {para} z\ leq 0\\
B_ {x} (r, t) —\ frac {n^ {\ prime}} {c}\ cos\ theta^ {\ prime}\ tau_ {\ perp} A e^ {i\ left (\ vec {k} ^ {\ prime}\ cdot\ vec {r} -\ omega t\ derecha)} & &\ text {for} z\ geq 0\\
B_ {z} (r, t) =\ frac {n} {c}\ sin\ theta A e^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ omega t)} +\ frac {n} {c}\ sin\ theta R_ {\ perp} A e^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ omega t)} &\ texto {para} z\ leq 0\\
B_ {z} (r, t) =\ frac {n^ {\ prime}} {c}\ sin\ theta^ {\ prime}\ tau_ {\ perp} A e^ {i\ left (\ vec {k} ^ {\ prime}\ cdot\ vec {r} -\ omega t\ derecha)} & &\ text {para}\ z geq 0\
B_ {y} =0 &
\ end {array}\]

El sistema se muestra en la Figura\( 12.11\). Esta figura muestra las direcciones de los campos magnéticos de las ondas componentes entrantes (\(\vec{B}_{i}\)), reflejadas (\(\vec{B}_{r}\)) y transmitidas (\(\vec{B}_{t}\)) en dispersión de una onda plana electromagnética polarizada paralela a un límite dieléctrico plano. Los\(\vec{k}\) vectores se muestran directamente debajo de los campos magnéticos. Las condiciones de límite no triviales son eso\(E_{y}\) y\(B_{x}\) son continuas (estas últimas porque hemos asumido\(\mu=1\) así que no hay hoja de corriente límite en el límite). \(B_{z}\)también es continuo, pero eso no proporciona nueva información. Así\[1+R_{\perp}=\tau_{\perp}\]

donde\[\xi_{\perp}=\frac{k_{z}^{\prime}}{k_{z}} .\]

Polarización en el plano de dispersión

La polarización en el\(z\) plano\(x\) - parece\ [\ begin {array} {cl}
B_ {y} (r, t) =A e^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ omega t)} +R_ {\ |} A e^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ omega t)} &\ text {para} z\ leq 0\\
B_ {y} (r, t) =\ tau_ {\ |} A e^ {i\ izquierda (\ vec {k} ^ {\ prime}\ cdot\ vec {r} -\ omega t\ derecha)} &\ texto {para} z\ geq 0\\
B_ {z} =B_ {x} =0, &
\ end {array}\]

donde, por conveniencia, hemos definido los coeficientes de reflexión y transmisión en términos de los campos magnéticos, y\ [\ begin {array} {rlr}
E_ {x} (r, t) =\ frac {c} {n}\ cos\ theta A e^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ omega t)} -\ frac {c} {n}\ cos\ theta R_ {\ |} A e^ {i (-\ overrightarrow {\ vec {k}}\ cdot\ vec {r} -\ omega t)} &\ texto {para} z\ leq 0\\
E_ {x} (r, t) =\ frac {c} {n^ {\ prime}}\ cos\ theta^ {\ prime}\ tau_ {\ |} A e^ {i\ izquierda (\ vec {k} ^ {\ prime}\ cdot\ vec {r} -\ omega t derecha)} & &\ texto {para} z\ geq 0\\
E_ {z} (r, t) =-\ frac {c} {n}\ sin\ theta A e^ {i (\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -\ omega t)} -\ frac {c} {n}\ sin\ theta R_ {\ |} A e^ {i (-\ tilde {\ vec {k}}\ cdot\ vec {r} -\ omega t)} & &\ text {para} z\ leq 0\\
E_ {z} (r, t) =-\ frac {c} {n^ {\ prime}} sin\ theta^ {\ prime}\ tau_ {\ |} A e^ {i\ izquierda (\ vec {k} ^ {\ prime}\ cdot\ vec {r} -\ omega t\ derecha)} &\ texto {para} z\ geq 0\\
E_ {z } =0. &
\ end {matriz}\]

Ahora las condiciones límite no triviales son la continuidad de\(B_{y}\) y\(E_{x}\). \(E_{z}\)no es continuo porque una densidad de carga ligada a la superficie se acumula en el límite dieléctrico. El rendimiento de las condiciones límite\[1+R_{\|}=\tau_{\|}\]

\[\frac{\cos \theta}{n}\left(1-R_{\|}\right)=\frac{\cos \theta^{\prime}}{n^{\prime}} \tau_{\|}\]

o\[\tau_{\|}=\frac{2}{1+\xi_{\|}}\]

\[R_{\|}=\frac{1-\xi \|}{1+\xi_{\|}}\]

donde\[\xi_{\|}=\frac{\cos \theta^{\prime} / n^{\prime}}{\cos \theta / n}=\frac{n^{2} k_{z}^{\prime}}{n^{\prime 2} k_{z}} .\]

Una de las cosas interesantes de (12.74) es que cuando\[\frac{n^{2} k_{z}^{\prime}}{n^{\prime 2} k_{z}}-1\]

no hay reflexión. Esta condición se satisface para un ángulo especial de incidencia llamado ángulo de Brewster. Podemos entender la importancia del ángulo de Brewster de la siguiente manera:\[\text { from Snell's law, } \frac{n^{2}}{n^{\prime 2}}-\frac{\sin ^{2} \theta^{\prime}}{\sin ^{2} \theta}\]

\[\frac{k_{z}^{\prime}}{k_{z}}=\frac{k_{x} / k_{z}}{k_{x}^{\prime} / k_{z}^{\prime}}=\frac{\tan \theta}{\tan \theta^{\prime}}\]

\[\frac{n^{2} k_{z}^{\prime}}{n^{\prime 2} k_{z}}=\frac{\sin \theta^{\prime} \cos \theta^{\prime}}{\sin \theta \cos \theta}=1 .\]

Así\(\sin 2 \theta=\sin 2 \theta^{\prime}\). Porque\(\theta \neq \theta^{\prime}\) (esa sería la situación trivial sin límites), esto significa que\[\theta=\pi / 2-\theta^{\prime} .\]

Es decir, el ángulo de Brewster se define por la condición de que las ondas planas reflejadas y transmitidas sean perpendiculares, como se muestra en el diagrama de la Figura\( 12.12\). La relevancia de esta condición es que la onda reflejada puede ser pensada como producida por el movimiento de las cargas en el límite. Pero si estos se mueven en una dirección perpendicular al campo eléctrico en la aspirante a onda reflejada, entonces la onda no se puede producir.

Figura\( 12.12\): Ángel de Brewster.

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⁴ Las cantidades,\(R_{\perp}\) y\(\tau_{\perp}\) en esta sección y\(R_{\|}\) y\(\tau_{\|}\) en la siguiente se denominan convencionalmente “coeficientes de Fresnel”. Ver Hecht, página 97.