13.7: Difracción de rayos X

Un hermoso ejemplo tridimensional de difracción de una función periódica es la difracción de rayos X de cristales. Un cristal es una matriz regular de átomos cuyas posiciones pueden describirse mediante una función periódica\[f(\vec{r})=f(\vec{r}+\vec{a})\]

donde\(\vec{a}\) es cualquier vector de un punto en la celosía a otro. Matemáticamente, podemos definir la celosía como el conjunto de todos esos vectores. Tenga en cuenta que la celosía siempre incluye el vector cero, el punto en el origen. La transformada tridimensional de Fourier\(f(\vec{r})\) es distinta de cero solo para vectores de número de onda de la forma\[2 \pi \sum_{j=1}^{3} n_{j} \vec{\ell}_{j}\]

donde\(\vec{\ell}_{j}\) están los vectores de base para la red “dual” o “recíproca” que satisface\[\vec{a} \cdot \vec{\ell}_{j}=\text { integer, for all } \vec{a}\]

La idea aquí es la misma que la discusión unidimensional de la rejilla de difracción, eso\(k_{x}=2 \pi n / a\), (13.90). La derivación de (13.107) es precisamente análoga a la de (13.90).

Podemos visualizar más fácilmente la relación entre la celosía y la doble celosía para “cristales” bidimensionales. Por ejemplo, considere una celosía de la forma\[\vec{a}=n_{x} a_{x} \hat{x}+n_{y} a_{y} \hat{y}\]

que se muestra en la Figura\( 13.26\) (para\(a_{x}=2 a_{y}\)).

Figura\( 13.26\): Una celosía cristalina.

Está claro que los vectores de la forma\[\vec{\ell}_{1}=\frac{1}{a_{x}} \hat{x}, \quad \ell_{2}=\frac{1}{a_{y}} \hat{y},\]

satisfacer (13.108). Además, un poco de pensamiento te convencerá de que estos son el par más corto de vectores linealmente independientes con esta propiedad. Así podemos tomar (13.110) como los vectores base para la celosía dual, de modo que la celosía dual se vea como

\[\vec{d}_{m}=\left(\frac{m_{x}}{a_{x}} \hat{x}+\frac{m_{y}}{a_{y}} \hat{y}\right)\]

como se muestra en la Figura\( 13.27\) .Obsérvese que los ejes largo y corto se intercambian, como es habitual en un proceso de difracción.

Figura\( 13.27\): La celosía dual.

Ahora supongamos que hay una onda plana que pasa por la celosía infinita,\[e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}-i \omega t} .\]

La onda que resulta de la interacción de la onda plana con la celosía tiene entonces la forma\[e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}-i \omega t} g(\vec{r}),\]

donde\(g(\vec{r})\) es una función periódica, como\(f(\vec{r})\) en (13.106). Para encontrar las posibles ondas refractadas, debemos escribir esto en la forma:\ [e^ {i\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -i\ omega t} g (\ vec {r}) =\ sum_ {\ begin {array} {c}
\ text {difracted}\ arriba\ text {ondas},\ alpha
\ end {array}} C_ {\ alpha} e^ {i\ vec {k} _ {\ alfa}\ cdot\ vec {r} -i\ omega t}.\]

Pero también sabemos por la discusión anterior que la transformada de Fourier de\(g\) es distinta de cero sólo para valores\(\vec{k}\) de la forma (13.107). Así (13.114) toma la forma\[e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}-i \omega t} \int d^{3} k^{\prime} e^{i \vec{k}^{\prime} \cdot \vec{r}} C_{g}\left(\vec{k}^{\prime}\right)=e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}-i \omega t} \sum_{n_{j}} C_{n_{j}} e^{2 \pi i \sum_{j} n_{j} \vec{\ell}_{j} \cdot \vec{r}}\]

Por lo tanto, el\(\vec{k}_{\alpha}\) in (13.114) debe tener la forma\[\vec{k}_{\alpha}=\vec{k} \mid 2 \pi \sum_{j} n_{j} \vec{\ell}_{j}\]

Pero esto sólo es posible si\(\vec{k}_{\alpha}\) satisface la relación de dispersión en el material, lo que significa, si el material es invariante de rotación por lo que\(\omega^{2}\) depende sólo de\(|\vec{k}|^{2}\), que\[\left|\vec{k}_{\alpha}\right|^{2}=|\vec{k}|^{2}.\]

Así obtenemos una onda difractada sólo para\(n_{j}\) tal que (13.117) se satisfaga. La difracción de rayos X de un cristal, por lo tanto, puede proporcionar información directa sobre la red dual y, por lo tanto, sobre la propia red cristalina.

Hay una manera más física de pensar sobre la doble celosía. Consideremos cualquier vector en la celosía dual que no sea múltiplo de otro,\[\vec{d} \equiv \sum_{j} n_{j} \vec{\ell}_{j}.\]

Ahora mira el subconjunto de vectores en la celosía que satisfacen\[\vec{d} \cdot \vec{a}=0.\]

Este subconjunto es el conjunto de puntos de celosía que se encuentran en el plano\(\vec{d} \cdot \vec{r}=0\),, es decir, el plano perpendicular al\(\vec{d}\) paso por el origen. Ahora considere el subconjunto\[\vec{d} \cdot \vec{a}=1.\]

Este subconjunto es el conjunto de puntos de celosía que se encuentran en el plano\(\vec{d} \cdot \vec{r}=1\),, que es paralelo al plano\(\vec{d} \cdot \vec{r}=0\), en la celosía. Este plano también es perpendicular\(\vec{d}\) y pasa a través del punto (que puede no ser un punto de celosía)\[r_{1}=\frac{\vec{d}}{|\vec{d}|^{2}}.\]

Por lo tanto, la distancia perpendicular (es decir, en la\(\vec{d}\) dirección) entre los dos planos es\[\hat{d} \cdot \vec{r}_{1}=\frac{1}{|\vec{d}|}.\]

Podemos continuar esta discusión para concluir que el subconjunto de puntos de celosía satisfaciendo\[\vec{d} \cdot \vec{a}=m \text { for integer } m=-\infty \text { to } \infty\]

es el conjunto de puntos de celosía que se encuentran en planos paralelos perpendiculares a\(\vec{d}\), con planos adyacentes separados por\(1 /|\vec{d}|\). ¡Pero este conjunto debe ser todos los puntos de celosía! Esto es cierto porque\(\vec{d} \cdot \vec{a}\) es un entero para todos los puntos de celosía por la definición de la celosía dual. Así, todos los puntos de celosía se encuentran en uno de los planos en (13.123).

Figura\( 13.28\): Un vector en la red dual.

Estas consideraciones se ilustran en el cristal bidimensional en las imágenes a continuación. Si el vector\(\vec{d}\) en la celosía dual es como se muestra en la Figura\( 13.28\), entonces los planos perpendiculares en la celosía se muestran en la Figura\( 13.29\).

Figura\( 13.29\): Los planos correspondientes en la celosía.

Ahora supongamos que\(\vec{d}\) es uno de los puntos especiales en la doble celosía que da lugar a una onda refractada, de manera que\[|\vec{k}+2 \pi \vec{d}|^{2}=|\vec{k}|^{2} \Rightarrow \vec{d} \cdot(\vec{k}+\pi \vec{d})=0.\]

Esta relación se muestra en la Figura\( 13.30\). Esto demuestra que el\(k\) vector de la onda refractada,\(\vec{k}+2 \pi \vec{d}\), apenas se\(\vec{k}\) refleja en un plano perpendicular a\(\vec{d}\). Hemos visto que hay un

Figura\( 13.30\): La condición de dispersión de Bragg.

número infinito de tales planos en la celosía, separados por\(1 /|\vec{d}|\). La contribución a la onda dispersa de cada uno de estos planos se suma constructivamente a la onda refractada. Para ver esto, considere la diferencia de fase entre la onda entrante,\(e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}-i \omega t}\) y la onda difractada\(e^{i \vec{k}_{\alpha} \cdot \vec{r}-i \omega t}\) para\(\vec{k}_{\alpha}=\vec{k}+2 \pi \vec{d}\). Evidentemente, la diferencia de fase en cualquier punto\(\vec{r}\) es\[2 \pi \vec{d} \cdot \vec{r}.\]

Esta diferencia de fase es un múltiplo integral de\(2\pi\) en todos los planos\[\vec{d} \cdot \vec{r}=m \text { for integer } m=-\infty \text { to } \infty.\]

Así, la contribución a la dispersión desde todos los planos de los puntos de celosía se suma constructivamente, porque la relación de fase entre la onda entrante y la difractada es la misma en todas ellas. Por el contrario\(\vec{k}_{\alpha} \neq \vec{k}+2 \pi \vec{d}\), si, entonces la contribución de diferentes planos interferirá destructivamente, y no resultará ninguna onda difractada.

Esta interpretación física va con el nombre de “dispersión de Bragg”. Los planos, (13.123) (o (13.126)) son los planos Bragg del cristal. Tenga en cuenta que a medida que el vector\(\vec{d}\) en la celosía dual se alarga, los planos de Bragg correspondientes se acercan, pero también son menos densos, conteniendo menos centros de dispersión por unidad de área. Generalmente la dispersión es más débil para grandes\(|\vec{d}|\).