13.8: Lista de verificación del capítulo

Ahora deberías ser capaz de:

1. i. Ser capaz de establecer un problema de difracción como un problema de oscilación forzada y escribir la onda difractada como una integral de Fourier;
2. Interpretar la integral de Fourier en la región de campo lejano y encontrar el patrón de difracción;
3. Analizar los patrones de difracción en haces hechos con una o más rendijas y rectángulos;
4. Utilizar el teorema de convolución para simplificar el cálculo de las transformadas de Fourier;
5. Analizar la dispersión de una rejilla de difracción y la difracción de rayos X de cristales;
6. Interpretar un holograma como un patrón de difracción;
7. Entender cómo una placa de zona puede enfocar una onda plana.

Problemas

13.1. Considere las oscilaciones transversales de una membrana semiinfinita y flexible con tensión superficial\(T_{S}\) y densidad de masa superficial\(\rho_{S}\). La membrana se estira en el plano\(z\) = 0 de\(y = −\infty\) a\(\infty\) y de\(x = 0\) a\(\infty\). La membrana se mantiene fija a lo largo de las medias líneas\(x=z=0\),,\(a \leq y \leq \infty\) y\(x = z = 0\),\(-\infty \leq y \leq-a\). Para\(y\) entre\(a\) y\(-a\), la membrana se acciona con frecuencia\(\omega\) para que el extremo en\(x = 0\) se mueva con desplazamiento transversal\[\psi(0, y, t)=f(y) e^{-i \omega t}\]

donde\ [f (y) =\ left\ {\ begin {array} {cl}
b\ left (1-\ frac {y} {a}\ right) &\ text {for} 0\ leq y\ leq a\\
b\ left (1+\ frac {y} {a}\ right) &\ text {for} -a\ leq y\ leq 0\\
0\ quad &\ text {for} |y|\ geq a.
\ end {array}\ right.\]

El desplazamiento transversal viene dado por\[\psi(x, y, t)=\int_{-\infty}^{\infty} d k_{y} C\left(k_{y}\right) e^{i\left(y k_{y}+x k\left(k_{y}\right)-\omega t\right)}\]

donde\(k(k_{y})\) hay alguna función de\(k_{y}\) y\[C\left(k_{y}\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d y f(y) e^{-i k_{y} y}=\frac{b}{\pi k_{y}^{2} a}\left(1-\cos k_{y} a\right).\]

Encuentra la función\(k(k_{y})\).

Si la intensidad de la ola en\(x = L\),\(y = 0\) para grandes\(L\) es\(I_{0}\), encontrar la intensidad para\(x = L\) y cualquier valor de\(y\). Pista: Suponga que se encuentra en la región de campo lejano, y tenga en cuenta todos los factores relevantes que contribuyen a la relación de la intensidad a\(I_{0}\).

13.2. Considere una barrera opaca en el\(y\) plano\(x\) - en\(z = 0\), con una sola hendidura a lo largo del\(x\) eje de ancho\(2a\), pero con regiones a cada lado de la hendidura cada una con anchura\(2a\) que son parcialmente transparentes, diseñadas para reducir la intensidad en un factor de 2. Cuando esta barrera es iluminada por una onda plana en la\(z\) dirección, la amplitud del campo oscilante en\(z = 0\) es\[f(x, y) e^{-i \omega t}\]

para\ [f (x, y) =\ left\ {\ begin {array} {ccc}
1 &\ text {for} & |y|<a\\
1/\ sqrt {2} &\ text {para} & a<|y|<3 a\\
0 &\ text {para} & 3 a<|y|.
\ end {array}\ derecho.\]

Cerca de la hendidura, esto solo produce un haz que es menos intenso por un factor de dos en los bordes. Muy lejos, sin embargo, el patrón de difracción es bastante diferente al de la ranura única. A una gran\(R=\sqrt{y^{2}+z^{2}}\) distancia fija de la hendidura, la intensidad en función de\[\xi=k_{y} a=\frac{\omega y a}{c R}\]

se muestra en la gráfica de la Figura\( 13.38\) para positivo\(\xi\). El valor del pico at\(\xi = 0\) se normaliza a 1, pero se ha suprimido en la gráfica para mostrar los detalles de los máximos secundarios.

Figura\( 13.38\): Problema 13.2.

Encuentra el valor positivo más pequeño\(\xi\) para el cual se desvanece la intensidad.

Encuentra la relación de la intensidad en\(\xi=\pi / 2\) a eso en\(\xi = 0\).

Hasta el momento no hemos mencionado la polarización de la luz, asumiendo que es irrelevante. De hecho, obtenemos el patrón que se muestra arriba para cualquier polarización, siempre y cuando el sombreado no afecta la polarización (y\(\xi\) es pequeño). Sin embargo, si la luz se polariza inicialmente en la dirección\(45^{\circ}\) desde el\(x\) eje, podríamos reducir la intensidad en dos pasándola a través de un polarizador perfecto alineado con el\(y\) eje. Supongamos que nuestra hendidura entre\(-a\) y\(a\) está completamente vacía, pero entre\(-3a\)\(-a\) y\(a\) y entre y\(3a\), ponemos tal polarizador. Ahora, como antes, el haz cercano a la hendidura apenas tiene la intensidad en los bordes reducida en un factor de 2. Ahora, sin embargo, el patrón de difracción es bastante diferente. En función de\(\xi\), la intensidad en general fija\(R\) es\[\propto \frac{1}{10}\left[\left(\frac{\sin 3 \xi}{\xi}\right)^{2}+\left(\frac{\sin \xi}{\xi}\right)^{2}\right]\]

que no se parece en nada al patrón anterior. Explique la diferencia.

13.3. Considere una barrera opaca en el\(y\) plano\(x\) - en\(z = 0\), con agujeros idénticos centrados en\((x, y)=\left(n_{x} a, n_{y} a\right)\) para todos los enteros\(n_{x}\) y\(n_{y}\). Supongamos que la barrera es iluminada\(z<0\) por una onda plana que viaja en la dirección z con longitud de onda\(\lambda=a \sqrt{3} / 2 \text { . }\).

Porque\(z > 0\), la ola tiene la forma\[\sum_{m_{x}, m_{y}} C_{m_{x}, m_{y}} e^{i\left(m_{x} \rho x+m_{y} \rho y+k_{z}\left(m_{x}, m_{y}\right) z-\omega t\right)}\]

donde\(m_{x}\) y\(m_{y}\) atropellar todos los enteros.

Encuentra\(\rho\).

Para grandes\(z\), sólo un número finito de términos en la suma son importantes. ¿Cuántos y cómo sabes?

Ahora supongamos que en lugar de venir en la\(z\) dirección, una onda plana con la misma longitud de onda se está moviendo para\(z < 0\)\(45^{\circ}\) al\(z\) eje tanto en el\(z\) plano\(x\) -, como en el\(y\) -\(z\) plano. Eso es\[\frac{k_{x}}{k_{z}}=\frac{k_{y}}{k_{z}}=\operatorname{lan} 45^{\circ}=1 .\]

Ahora para\(z > 0\), la ola tiene la forma\[\sum_{m_{x}, m_{y}} C_{m_{x}, m_{y}} e^{i\left[\left(m_{x} \rho+\xi_{x}\right) x+\left(m_{y} \rho+\xi_{y}\right) y+k_{z}\left(m_{x}, m_{y}\right) z-\omega t\right]}\]

donde\(m_{x}\) y\(m_{y}\) atropellar todos los enteros.

Encontrar\(\xi_{x}\) y\(\xi_{y}\).

Nuevamente para grandes\(z\), sólo un número finito de términos en la suma son importantes. Cuáles — es decir, ¿qué valores de\(m_{x}\) y\(m_{y}\)?

13.4. Describir el patrón de difracción que resulta cuando una rejilla de difracción de transmisión con distancia de separación de líneas\(S\) es iluminada por una onda plana de luz monocromática con longitud de onda\(L\) que se desplaza en una dirección perpendicular a las líneas de rejilla y en ángulo\(\theta\) a la perpendicular desde la superficie de la rejilla.

13.5. Una pantalla opaca con cuatro ranuras estrechas en\(x=\pm 0.6 \mathrm{~mm}\) y\(x=\pm 0.4 \mathrm{~mm}\) está bloqueando un haz de luz coherente con longitud de onda\(4 \times 10^{-5} \mathrm{~cm}\). Describir el patrón de difracción que aparece en una pantalla a 5 metros de distancia.

13.6. Una membrana flexible semiinfinita se estira en el\(z = 0\) plano para\(x \geq 0\) con tensión superficial\(T_{s}\) y densidad de masa superficial\(\rho_{s}\). La membrana se sujeta hacia abajo a\(z = 0\) lo largo de las dos líneas semi-infinitas\(z = 0\),\(x = 0\),,\(y \geq a\) y\(z = 0\),\(x = 0\),\(y \leq-a\). Para\(-a \leq y \leq a\) y\(x = 0\), la membrana se ve obligada a oscilar con una amplitud de la forma\[z=B e^{i \omega t} \cos \frac{\pi y}{2 a}.\]

Dibuja un diagrama del\(z = 0\) medio plano para\(x \geq 0\) e indica dónde es grande el promedio del valor absoluto cuadrado del desplazamiento transversal de la membrana (es decir, no mucho menor que\(B^{2} a / r\), dónde\(r\) está la distancia desde el origen). Para su diagrama, suponga que la distancia\(a\) es de aproximadamente 5 veces la longitud de onda de las ondas.

Encontrar la intensidad de la perturbación en la membrana producida por esta oscilación forzada en función de\(\theta=\tan ^{-1}(y / x)\) en un semicírculo grande,\(x^{2}+y^{2}=R^{2}\), para\(R^{2}>>a^{4} \omega^{2} \rho_{s} / T_{s}\).

Pista: Esto es similar a un problema de difracción de hendidura única. Tenga en cuenta que aunque la perturbación sea un coseno, tendrá que hacer una integral de Fourier (aunque no una difícil) para hacer la parte b, porque la perturbación se limita a\(-a \leq y \leq a\) at\(x = 0\).

13.7. Supongamos que una rejilla de difracción con separación de líneas\(d\) se graba sobre la parte superior de una gruesa pieza de vidrio con índice de refracción\(n\). Si la luz de frecuencia\(\omega\) incide en la parte superior, entrando en un ángulo\(\theta\) desde la perpendicular a la cara y perpendicular a las líneas de rejilla, encuentra los ángulos de los componentes de la onda en el vidrio.

13.8. En la Figura se\( 13.39\) muestran 4 patrones de difracción tales como los que podrían producirse brillando luz láser (casi una onda plana) a través de una hendidura o hendiduras, y proyectando el patrón sobre una placa fotográfica muy lejos. Los patrones son producidos cada uno por cerca de 500 fotones individuales que golpean la placa con una densidad de probabilidad proporcional a la intensidad de la onda difractada.

Figura\( 13.39\): Cuatro patrones de difracción.

Los cuatro objetos que produjeron estos patrones fueron, en orden aleatorio,

1. Una sola hendidura, 1 mm de ancho;
2. Una sola hendidura, 0.6 mm de ancho;
3. Dos ranuras, cada una de 0.6 mm de ancho, con centros separados por 1.5 mm;
4. Seis ranuras, cada una de 0.6 mm de ancho, con centros adyacentes separados por 1.5 mm.

1. ¿Cuál es cuál?
2. ¿Cómo lo sabes?