2.1.3: Simulación simple de movimiento armónico

A continuación se presenta una simulación de una masa en un muelle. La gráfica muestra la ubicación\(y\) (vertical) de la masa en diferentes momentos. La fuerza que actúa sobre la masa en este caso se llama fuerza de la Ley de Hooke:\(F = -κy\) donde\(κ\) se llama la constante de resorte, al\(\text{N/m}\) indicar la rigidez del resorte y\(y\) es la ubicación de la masa desde algún equilibrio posición.

Los puntos en la gráfica del movimiento de la masa sobre un resorte pueden ser descritos por la función matemática\(y(t)=A\cos (-2\pi ft+\phi )\) donde\(\cos\) está la función coseno,\(f\) es la frecuencia,\(A\) es la amplitud (desplazamiento máximo) y\(\phi\) es la fase en radianes. Para cualquier momento,\(t\), el desplazamiento de la masa se puede encontrar calculando\(y(t)=A\cos (-2\pi ft+\phi )\) si se conocen la frecuencia y el punto de partida (fase).

Preguntas de simulación:

1. Arrastre la masa a alguna ubicación inicial usando el mouse. Haga clic en el botón 'play' (abajo a la izquierda) para ver el movimiento y la gráfica de la ubicación de la masa. Determinar el periodo de oscilación a partir de la gráfica encontrando la diferencia de tiempo entre dos picos.
2. Ahora encuentra el periodo a partir de los tiempos de dos veces consecutivas cuando la masa está en el fondo de su oscilación. ¿Es este el mismo periodo que tuviste en la primera pregunta? Explique.
3. Prueba un desplazamiento inicial diferente y mide el periodo. ¿Cambiar la amplitud de la oscilación cambia el periodo?
4. Al hacer clic en la gráfica se muestran las coordenadas del ratón en un cuadro amarillo en la parte inferior izquierda. Determinar el periodo y la frecuencia de este movimiento a partir de los valores en la gráfica (Pista: La frecuencia en\(\text{Hz}\) es la inversa del periodo\(f=1/T\).
5. Marque la casilla 'V' para ver gráficas tanto de posición como de velocidad. ¿Dónde está la masa cuando la velocidad es máxima? ¿Dónde está la masa cuando la velocidad se vuelve cero?
6. Pruebe diferentes valores constantes de resorte\(κ\), entre\(0.5\text{ N/m}\) a\(5.0\text{ N/m}\), reiniciando y liberando la masa en el mismo punto cada vez. ¿Cuál es la relación entre la constante de resorte y la frecuencia?
7. Para un resorte dado la frecuencia está determinada por la masa que cuelga de él y la rigidez del resorte;\(f = (κ/m)^{1/2}/(2π)\). Mida la frecuencia para el caso de una constante elástica,\(κ\) igual a\(2.0\). ¿Cuál debe ser la masa al final de esta primavera? Verifique que obtenga la misma masa midiendo la frecuencia para varias constantes de resorte diferentes (esto equivale a colgar la misma masa en varios resortes diferentes).
8. Según la ecuación de frecuencia, ¿qué pasaría con el período de oscilación de un sistema de masa de resorte si se duplica la masa?
9. ¿Por qué es más conveniente utilizar una función coseno con una fase de cero para la descripción del movimiento de la masa en este caso? (Pista: ¿La masa comienza con una amplitud de cero o una amplitud máxima?)

Preguntas Avanzadas:

1. Como veremos en el Capítulo 6, la frecuencia angular viene dada por\(ω = 2πf\). ¿Cuál es la frecuencia angular del movimiento de la masa?
2. Los puntos en la gráfica del movimiento de la masa sobre un resorte pueden ser descritos por la función matemática\(y(t)=A\cos (-\omega t+\phi )\) donde\(\cos\) está la función coseno,\(ω\) es la frecuencia angular y\(\phi\) es la fase en radianes. Usando esta ecuación y una calculadora (¡en modo radián!) , ¿cuál es la ubicación de la misa cuando\(t=0\) y\(\phi =0\)? ¿Cuál es la ubicación de la masa cuando\(t=0\) y\(\phi =\pi\) (no olvides que estamos en modo radián)? Explique qué es lo que el ángulo de fase,\(\phi\) le dice sobre la posición inicial (\(t=0\)) de la masa en el resorte.
3. Si\(y(t)=A\cos (-\omega t+\phi )\) es la ubicación de la masa en el resorte y la derivada del tiempo (usando cálculo) de la ubicación es la velocidad, entonces la velocidad de la masa viene dada por\(v(t)=-A\omega \sin (-\omega t+\phi )\). Marque la casilla 'V' y ejecute una simulación con una amplitud inicial de\(6.0\text{ m}\) y una constante elástica de\(2\). De la gráfica encuentra la frecuencia angular y calcula la amplitud de velocidad\(v_{max} =A\omega \). ¿Cómo se compara este número con el valor máximo en el gráfico de velocidad, son iguales?
4. Encontrar una expresión para la aceleración de una masa sobre un resorte, basada en la posición dada por\(y(t)=A\cos (-\omega t+\phi )\) y en el hecho de que la aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo (esto requiere cálculo).

Resumen del Capítulo Tres

Los objetos vibrantes pueden describirse por su periodo (en segundos) o lo inverso, su frecuencia (en Hertz). El ángulo de fase indica en qué parte del ciclo comienza una medición de tiempo o espacio. Cualquier cosa que experimente una fuerza de ley de Hooke (una fuerza proporcional al desplazamiento) sin ser impulsada y sin fricción sufrirá un simple movimiento armónico. El movimiento armónico simple se puede describir matemáticamente mediante una función sinusoidal o coseno.