8.2.3: Simulación en Serie de Fourier

Esta simulación muestra la suma de hasta ocho armónicos (cinco en dispositivos móviles) de una onda sinusoidal. Inicialmente la velocidad se establece en cero para hacer la visualización más simple. Un armónico de una onda sinusoidal es una onda sinusoidal que tiene una frecuencia que es un número entero múltiplo de la frecuencia de la onda original. El primer armónico (configurado con el deslizador\(A1\)) se llama fundamental. Entonces si lo fundamental es\(f_{1} = 200\text{ Hz}\) el segundo armónico es\(f_{2} = 400\text{ Hz}\), el tercer armónico es\(f_{3} = 600\text{ Hz}\), etc.\(v=\lambda f\) lo sabemos para una velocidad fija, duplicar la frecuencia significa que la longitud de onda del segundo armónico es la mitad de la fundamental. Por el contrario, mantener el dedo hacia abajo en medio de una cuerda de guitarra y desplumar un lado corta la longitud de onda a la mitad, lo que duplica la frecuencia que se toca. Para las ondas estacionarias en una cuerda fija en cada extremo (como una cuerda de guitarra) cada armónico también se llama modo normal de vibración.

El gráfico en la parte superior derecha en la simulación es el espectro de Fourier y es una forma de mano corta de mostrar cuánto de cada armónico está presente en la gráfica de la izquierda. Las series de Fourier suelen incluir funciones sinusoidales y cosenales y pueden representar funciones periódicas en el tiempo o el espacio o ambas. En esta simulación solo tenemos combinaciones de ondas sinusoidales. La serie de Fourier para la función de onda que se muestra en la gráfica izquierda viene dada por\(y(t)=\sum_{n=1} A_{n}\sin (n2\pi x/\lambda-n2\pi f_{1}t)\). Aquí\(t\) está el tiempo,\(n\) es el número del armónico o modo (\(n=1\)para lo fundamental,\(2\) para el segundo armónico etc.),\(A_{n}\) es la amplitud del armónico o número de modo\(n\) y\(f_{1}\) es la frecuencia fundamental (\(f=1/T\)). La amplitud está en unidades arbitrarias, escalado entre\(1\) y\(-1\).

Nota

La Serie de Fourier y el Modelo JavaScript de Sonido utiliza la API HTML 5 Web Audio. Esta API aún está en desarrollo y es posible que no sea compatible con todas las plataformas. Pulse el botón Reset para reinicializar la simulación si el sonido no se reproduce cuando las simulaciones se cargan por primera vez.

Preguntas de simulación:

1. Intente ajustar el control deslizante _A1 a diferentes valores. ¿Qué hace este deslizador? Si tiene altavoces, encienda el sonido y escuche. Esta es una onda\(200\text{ Hz}\) sinusoidal.
2. Es posible que hayas notado que la amplitud aparece en la gráfica de la derecha. También se puede ver la magnitud de la amplitud manteniendo pulsado el botón del ratón y moviendo el ratón hacia la parte superior de uno de los picos de la gráfica de la izquierda. ¿Coincide con el valor de\(A1\) conjunto por el control deslizante? Usa el ratón para encontrar la longitud de onda (distancia entre picos en el gráfico de la izquierda), ¿cuál es la longitud de onda de esta onda?
3. Usa el botón 'reset' y mueve el deslizador\(A_{2}\) (el segundo armónico). ¿Cuál es la longitud de onda del segundo armónico? ¿Cómo se compara esta longitud de onda con la longitud de onda de lo fundamental? Esta es una onda\(400\text{ Hz}\) sinusoidal. ¿Cómo suena?
4. El tono de una onda de sonido está determinado por la frecuencia fundamental. Encienda la velocidad (\(344\text{ m/s}\)para el sonido a temperatura ambiente) haciendo clic en el botón de ejecución de simulación. Con solo la amplitud _A1 mostrando, ejecute la simulación. Encuentre el período midiendo el tiempo (in\(10^{-3}\text{ sec}\)) entre cuando un pico pasa por el origen y cuándo pasa el siguiente pico (use el botón de paso para obtener una medición precisa del tiempo). ¿Cuál es la frecuencia de lo fundamental?
5. Ahora encuentra el periodo de una ola con varios armónicos. ¿Cuál es el periodo de la combinación (el tiempo entre los picos más altos sucesivos)? Aunque la onda parece más complicada tiene la misma frecuencia fundamental y por lo tanto el mismo tono. Los picos adicionales, más pequeños se deben a los armónicos y dan un sonido su timbre. Una trompeta y un trombón tocando la misma nota tienen la misma frecuencia fundamental pero suenan diferentes por el número y cantidad de armónicos presentes.
6. Para obtener la forma exacta de una función periódica arbitraria necesitaríamos un número infinito de términos en la serie de Fourier pero en esta simulación solo podemos agregar un máximo de 8 términos. Prueba la siguiente combinación de armónicos (puedes escribir las amplitudes en las casillas junto a los controles deslizantes para obtener valores exactos):\(A_{1} = 1.0,\: A_{2} = 0,\: A_{3} = 0.333 (= 1/3),\: A_{4} = 0,\: A_{5} = 0.20 (= 1/5),\: A_{6} = 0,\: A_{7} = 0.143 (= 1/7),\: A_{8} = 0\). ¿Cuál es la forma aproximada de esta ola? Si tiene altavoces, encienda el sonido y escuche.
7. Reinicia la simulación y prueba la siguiente combinación de armónicos (puedes escribir las amplitudes en las casillas junto a los controles deslizantes para obtener valores exactos):\(A_{1} = 1.0,\: A_{2} = -0.5,\: A_{3} = 0.333,\: A_{4} = -0.25,\: A_{5} = 0.20,\: A_{6} = -0.166,\: A_{7} = 0.143,\: A_{8} = -0.125\). ¿Cuál es la forma aproximada de esta ola? Si tiene altavoces, encienda el sonido y escuche.
8. Supongamos que un clarinete y una trompeta tocan ambos la misma nota (tienen la misma frecuencia fundamental). ¿Por qué es que aún puedes diferenciarlos, aunque estén tocando la misma nota?
9. Encuentra una definición de timbre y escríbala con tus propias palabras. En base a sus respuestas a las preguntas anteriores, ¿qué causa el timbre?
10. Supongamos que querías construir un instrumento electrónico que sumara ondas juntas para imitar a otros instrumentos (así es como funcionan algunos sintetizadores musicales). ¿Qué necesitarías saber sobre el sonido que hace una trompeta para reconstruir ese sonido? (Pista: piensa en la información contenida en la gráfica en la parte superior derecha.)