14.1.1: La Escala Pitagórica

Los antiguos griegos, que sólo tenían simples instrumentos de cuerda y flautas, notaron dos cosas sobre los tonos producidos por una cuerda vibrante. Se percataron que una cuerda de la mitad de la longitud de otra pero con la misma tensión y grosor sonaba similar. Por ejemplo, si la cuerda original tocaba\(880\text{ Hz}\) una frecuencia de una cuerda similar del doble de longitud tocaría una nota de\(440\text{ Hz}\), una octava inferior. No podían medir estas frecuencias pero podían escuchar que había una relación agradable entre los dos tonos. Lo mismo sucede al mantener la cuerda hacia abajo en el centro; cada mitad sonará una nota y una octava más alta que la longitud completa. Los antiguos griegos también notaron que sostener una cuerda hacia abajo en\(2/3\) su longitud produciría dos notas (al desplumar cada lado) que sonaban agradables juntas. Llamamos al intervalo entre la nota tocada por la\(1/3\) longitud y la nota interpretada por\(1/2\) la longitud de la misma cuerda una quinta perfecta (si cantas la canción infantil 'Baa Baa Black Sheep' la primera Baa y Black son una quinta aparte). La relación de frecuencias es\(3:2\). Otras dos notas que suenan bien juntas son las notas producidas por la parte larga de la\(2/3\) de la cuerda y la nota formada al sostener la cuerda hacia abajo en su centro. El intervalo entre estas dos notas se llama un cuarto perfecto y la relación de frecuencia entre ellas es\(4:3\) (las dos primeras notas de 'Hark the Herald Angels Sing').

Como hemos aprendido, la frecuencia de lo fundamental es el factor principal que determina el tono de la nota que escuchamos pero no la única. A continuación se dará cuenta de que las frecuencias a menudo no son exactamente armónicos ni números enteros. En la mayoría de los casos esto no importa porque nuestra audiencia no es lo suficientemente precisa como para detectar la diferencia de unos pocos\(\text{Hz}\) (recuerde que el\(\text{JND}\) en frecuencia está a punto\(1\text{ Hz}\) para tonos a continuación\(1000\text{ Hz}\)). La escala moderna de temperamento igual divide una octava en doce pasos iguales (llamados semitonos). Cada semitono se divide en\(100\) centavos. En la escala de igual temperamento (ver abajo) esto es sobre\(0.3\text{ Hz}\) para las notas en la octava que comienzan en el medio\(\text{C}\) (\(261.63\text{ Hz}\)). Debido a que el espaciado de frecuencia para diferentes octavas no es el mismo el cambio de frecuencia por ciento será diferente en cada octava. Músicos entrenados pueden escuchar una diferencia en frecuencias de cinco centavos (\(1.5\text{ Hz}\)) bajo condiciones de prueba. Las notas musicales normales pueden estar fuera de su frecuencia prevista tanto como\(20\text{ cents}\) (aproximadamente\(6\text{ Hz}\)) pero no nos damos cuenta a menos que los sonidos estén aislados o haya latidos.

¿Hay alguna razón por la que las notas con una proporción de\(3:2\) (una quinta perfecta) y otras proporciones suenen bien juntas? Tal vez. En el caso de quintas los armónicos se superponen (una nota cuya fundamental es\(300\text{ Hz}\) tiene armónicos en\(600\text{ Hz}\) y\(1200\text{ Hz}\) que se superponen con los armónicos de un fundamental en el\(200\text{ Hz}\) que son\(400\text{ Hz},\: 600\text{ Hz},\: 800\text{ Hz},\: 1000\text{ Hz}\) y\(1200\text{ Hz}\)). En otras palabras, hay menos disonancia (rugosidad producida por armónicos cercanos pero no exactamente a la misma frecuencia- ver Capítulo 10). No está claro por qué los humanos tienden a encontrar agradables notas con armónicos superpuestos pero esto parece ser cierto en la mayoría de las culturas (aunque las notas y escalas utilizadas pueden ser diferentes). El mundo occidental heredó las preferencias griegas por las escalas, pero muchas culturas no occidentales incluyen otras preferencias que suenan extrañas para el oído occidental. Sin embargo, se puede aprender una apreciación por estos sonidos.

La comprensión de que las proporciones\(3:2\) y\(2:1\) (octavas) suenan bien juntas llevó al filósofo y matemático griego Pitágoras a idear lo que ahora se conoce como la escala pitagórica. Para construir esta escala partimos con una nota o frecuencia. Si lo duplicamos tenemos la misma nota una octava más alta. Si multiplicamos o\(3/2\) dividimos por tenemos notas intermedias. En el siguiente ejemplo comenzamos con la nota\(\text{D}\) en\(147\text{ Hz}\) y aplicamos la regla (las frecuencias se redondean a números enteros en este ejemplo). Las primeras cinco notas generadas por este procedimiento se denominan la escala pentatónica que se ha utilizado desde hace dos mil años. Si generamos dos notas más tenemos una escala septatónica o siete notas entre las dos notas con una octava de diferencia. Se puede continuar con el procedimiento para encontrar otras notas en esta octava.

Frecuencia	Nota
\(147\text{ Hz}\)	\(\text{D}\)
\(147\times 2=294\text{ Hz}\)	\(\text{D}\)una octava superior
\(147\times 3/2 =220\text{ Hz}\)	\(\text{A}\)
\(294\times 2/3 =196\text{ Hz}\)	\(\text{G}\)
\(220\times 3/2 =330\text{ Hz}\)	\(\text{E}\)
\(196\times 2/3\times 2=261\text{ Hz}\)	\(\text{C}\)

Mesa\(\PageIndex{1}\)

Cabe señalar que Pitágoras sólo codificaba matemáticamente esta escala; los músicos ya la estaban usando porque sonaba bien. Parecía interesante e importante para Pitágoras y otros matemáticos tempranos que lo que sonaba bien al oído pudiera explicarse como simples proporciones matemáticas entre las longitudes de la cuerda en un arpa.

Una elección particular de nota de partida y sistema de generación de una escala de nota se llama modo (tenga en cuenta que esto no es lo mismo que los modos de vibraciones en un tubo o en una cuerda o membrana). Si empezamos con la nota\(\text{F}\) y multiplicar/dividir por\(3/2\) y\(2\) cada vez generamos una escala llamada el modo lidio. Si empezamos con la nota\(\text{B}\) y aplicamos la regla la escala de siete notas es el modo locriano.

Un matemático y astrónomo posterior, Ptolomeo, agregó notas a la escala pitagórica al incluir proporciones de\(5:4\). Utilizando el mismo procedimiento anterior (multiplicar o dividir por\(5/4\) y\(2\)) también se producirá una escala de siete notas pero con frecuencias ligeramente diferentes. Entonces por ejemplo\(261.63\text{ Hz}\times 5/4 = 327.04\text{ Hz}\) cuál sería la nota\(\text{E}\) pero no tiene exactamente la misma frecuencia que la\(\text{E}\) en la escala pitagórica (\(331.12\text{ Hz}\)). Sin embargo, la mayoría de la gente no puede escuchar esta pequeña diferencia de frecuencia a menos que se esté haciendo una comparación directa con otro tono (en cuyo caso se pueden escuchar latidos) por lo que una canción tocada o cantada con este conjunto de frecuencias suena aproximadamente igual que la escala pitagórica. Para la escala pitagórica, no importa en qué nota empieces, cada escala suena similar porque el espaciado es similar porque la relación es siempre\(3:2\). Esto resulta no ser cierto para la escala creada por Ptolomeo porque algunas proporciones son\(4:5\) y otras lo son\(3:2\). Entonces, cambiar las teclas o modos (comenzando en una nota diferente) sí hace una diferencia en el sistema ptolemaico pero no en el pitagórico.

Ratios Musicales Utilizados por Varios Grupos
Uso o Nombre	Intervalo Musical	Relación de frecuencia	Tamaño en Centavos (Escala Pitagórica)
	Al unísono	\(1:1\)	\(0\)
Pitágoras y renacentistas	Octava	\(2:1\)	\(1200\)
Pitágoras y renacentistas	Quinto	\(3:2\)	\(701.95\)
Pitágoras y renacentistas	Cuarto	\(4:3\)	\(498.05\)
Renacimiento	Tercera Mayor	\(5:4\)	\(386.31\)
Renacimiento	Sexto Menor	\(8:5\)	\(813.69\)
	Tercera Menor	\(6:5\)	\(315.64\)
	Sexto Mayor	\(5:3\)	\(884.36\)
Indio y moderno	(sin nombre)	\(7:4\)	\(968.83\)
Indio y moderno	(sin nombre)	\(11:8\)	\(551.32\)

Mesa\(\PageIndex{2}\)

En el siglo XIV la música comenzó a complicarse más. En lugar de que todos cantaran la misma nota en un coro, la armonía se hizo popular. Antes de esta época la mayoría de la música en Europa era música de iglesia y se regía por reglas estrictas (se suponía que siempre usaban la escala pitagórica). A medida que la música folk se hizo más popular algunas de estas reglas se relajaron. Las rondas (como Row, Row Row Your Boat), donde cada cantante canta la misma canción pero inicia un bar más tarde, también se hicieron populares. Para que esto suene bien la mayoría de las notas de la canción deben armonizarse entre sí (para que cuando se superpongan haya armonía; en otras palabras, muchos de los armónicos se superponen). Lo que descubrieron los intérpretes fue que las notas en la escala de Ptolomeo permitían una mayor armonización porque hay más variedad de notas. Finalmente, esta escala reemplazó a la escala pitagórica más rígida. Ahora llamamos a la escala ptolemaica la escala Just.