1.6: Ondas longitudinales

Al comparar simulaciones sobre ondas transversales (Tutorial 1.3) con movimiento armónico vertical (Tutorial 1.4) descubrimos que las partículas en una onda transversal se mueven hacia arriba con un simple movimiento armónico. En el ejercicio anterior (Tutorial 1.5) vimos que el movimiento armónico también puede ocurrir en la dirección horizontal. ¿También podemos tener una onda moviéndose horizontalmente donde las partículas se mueven con movimiento armónico en la dirección horizontal?

¡SÍ! Las ondas longitudinales son ondas donde el movimiento del material en la ola es hacia adelante y hacia atrás en la misma dirección en la que se mueve la ola. Las ondas sonoras (en el aire y en los sólidos) son ejemplos de ondas longitudinales. Cuando un diapasón o altavoz estéreo vibra, se mueve hacia adelante y hacia atrás creando regiones de aire comprimido (donde la presión es ligeramente mayor) y regiones en el medio donde el aire tiene una presión más baja (llamada rarefacción). Estas compresiones y rarefacciones se alejan del diapasón o altavoz a la velocidad del sonido. Cuando llegan a tu oído hacen que tu tímpano vibre, enviando señales a través del resto del oído al cerebro.

Las ondas longitudinales se pueden describir con las mismas funciones matemáticas que las ondas transversales:\(y(x,t)=A\sin (kx-\omega t+\varphi )\) donde ahora\(y(x,t)\) está el desplazamiento horizontal (o longitudinal) desde el equilibrio en la ubicación\(x\) y el tiempo\(t\) en lugar del desplazamiento vertical desde equilibrio. Como fue el caso de las ondas transversales, la velocidad de avance de una onda longitudinal viene dada por\(v=\lambda /T=\omega /k\).

La siguiente simulación muestra una gráfica del movimiento longitudinal de una molécula, el círculo rojo, en una colección de moléculas que tiene una onda longitudinal que pasa a través de ella, al igual que el sonido que pasa por el aire. Una línea vertical marca la ubicación de equilibrio del círculo rojo. No se muestran movimientos térmicos aleatorios.

Ondas longitudinales

Preguntas:

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Haga clic en 'Posición' y luego en 'jugar'. Al hacer clic izquierdo en el panel superior se da el tiempo y la amplitud de los puntos en la gráfica en el cuadro amarillo. ¿Alguno de los círculos recorre todo el camino a través de la simulación hacia el otro lado? Explique.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Al hacer clic izquierdo en el panel superior se da el tiempo y la amplitud de los puntos en la gráfica en el cuadro amarillo. Determinar la amplitud máxima y el periodo de oscilación a partir de la gráfica.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Al hacer clic izquierdo en el panel inferior se dan las\(y\) ubicaciones\(x\) y de los puntos de la ola en una caja amarilla. Pausa y pisa la animación hasta que el círculo rojo esté en su posición de equilibrio. Encuentra la longitud de onda de la onda usando el ratón encontrando la distancia entre un lugar donde los círculos están agrupados y la siguiente ubicación (o desde dos ubicaciones sucesivas donde los círculos están más alejados). ¿Cuál es la longitud de onda?

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

A partir del periodo y longitud de onda se encuentra la velocidad de esta onda (Pista: Las mismas ecuaciones funcionan tanto para ondas longitudinales como transversales).

Para el sonido la frecuencia (inversamente proporcional a la longitud de onda) nos dice algo sobre el tono del sonido. Hay otros aspectos de la percción de tono que inolven otras características físicas de la onda, pero el componente principal del tono es la frecuencia.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

¿Cuál es la frecuencia de la onda en la simulación?

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Escribir una ecuación del formulario\(y(x,t)=A\sin (kx-\omega t+\varphi )\), rellenando los valores de\(A,\: k\) y\(\omega\) para esta ola. Supongamos que el ángulo de fase es cero.

Observe que los círculos en la simulación se mueven hacia adelante y hacia atrás con una velocidad variable alrededor de una posición de equilibrio mientras que la ola se mueve solo en una dirección con una velocidad constante. La velocidad de las partículas individuales viene dada como antes por la derivada de la amplitud:\(v(x,t)=\partial y(x,t)/\partial t=-A\omega\cos (kx-\omega t+\varphi )\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Haz clic en 'Velocidad' y luego en 'jugar'. La gráfica superior ahora da la velocidad del círculo rojo en función del tiempo. ¿Cuál es la velocidad máxima (aproximadamente) del punto rojo según la gráfica? ¿Cómo se compara esto con la velocidad de la ola en la que encontraste\(\PageIndex{4}\)? ¿Cómo se compara con\(v_{\text{max}}=A\omega\)?

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

En sus propias palabras, explique la diferencia entre la velocidad de onda y la velocidad de partícula para una onda longitudinal.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

¿Dónde está el punto rojo relativo a la línea vertical cuando se produce la velocidad máxima? ¿Dónde está cuando la velocidad es aproximadamente cero? Cuál es la relación entre posición y velocidad.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Tomar una derivada de la velocidad para encontrar una expresión para la aceleración de partículas en el material (el punto rojo). Demostrar que la aceleración máxima viene dada por\(a_{\text{max}}=A\omega ^{2}\).

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Calcular la aceleración máxima del punto rojo utilizando\(a_{\text{max}}=A\omega ^{2}\). Si la amplitud está en metros y la frecuencia angular en radianes por segundo, ¿cuáles son las unidades de esta aceleración?

A medida que una onda sonora se mueve a través del aire las moléculas de aire no avanzan a la velocidad del sonido sino que oscilan de un lado a otro como osciladores armónicos en la misma ubicación general mientras pasa la onda sonora (ver pregunta uno). Para las ondas sonoras la amplitud de desplazamiento (distancia desde la ubicación de equilibrio) nos dice algo sobre la presión del aire en esa ubicación. La presión se mide en pascales (\(1\text{ Pa} = 1\text{ N/m}^{2}\)) y la presión al cuadrado es proporcional a la intensidad de la onda sonora, medida en\(\text{W/m}^{2}\).

La relación entre la intensidad sonora,\(I\) medida en vatios por metro cuadrado y la sonoridad, o el nivel de intensidad sonora (\(SIL\)) medido en decibelios, viene dada por\(SIL=10\log (I/I_{0})\). Aquí\(\log\) está el logaritmo y\(I_{0}=10^{-12}\text{ W/m}^{2}\) es una intensidad sonora de referencia a aproximadamente el threashold del oído humano.

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Para las siguientes intensidades sonoras, cuál es el equivalente\(SIL\) en decibelios: Jet enginge,\(100\text{ W/m}^{2}\); umbral de dolor,\(1\text{ W/m}^{2}\); aspiradora,\(10^{-4}\text{ W/m}^{2}\); converstaion,\(10^{-6}\text{ W/m}^{2}\); el crujido de las hojas,\(10^{-11}\text{ W/m}^{2}\).