1.5: Movimiento armónico simple y resonancia

Tutorial 1.5: Movimiento Armónico Simple y Resonancia

La siguiente simulación muestra un oscilador armónico accionado y amortiguado; una\(1\text{ kg}\) masa en un resorte con constante de resorte\(2\text{ N/m}\). La amplitud del movimiento se grafica versus el tiempo. La posición inicial de la masa,\(x_{0}\), se puede ajustar arrastrando la masa a una posición inicial. La frecuencia de conducción\(f\),, se puede ajustar por lo que esperamos que para una frecuencia en particular veamos que la amplitud del movimiento es muy grande; en otras palabras, se producirá resonancia.

También se pueden ajustar varios otros parámetros. \(b\)es la cantidad de fricción en\(\text{Ns/m}\) (esto podría ser resistencia al aire o fricción deslizante o fricción en el propio resorte);\(v_{0}\) in\(\text{m/s}\) es la velocidad inicial de la masa, y\(F_{0}\) es la magnitud de la fuerza motriz en newtons.

En esta (y muchas otras simulaciones que usaremos) es más fácil escribir\(\omega =2\pi f\) dónde\(\omega\) está la frecuencia angular en radianes por segundo en lugar de tener que escribir en\(2\pi f\) todas partes.

Movimiento Armónico Simple II

Preguntas:

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Comienza con los parámetros predeterminados, arrastra la pelota a la posición de inicio máxima (\(10\text{ m}\)) y presiona play. ¿Cómo se compara este movimiento con el movimiento armónico simple (en el último capítulo)?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Restablecer la simulación, cambiar el parámetro de fricción,\(b\) a\(0.5\text{ Ns/m}\), arrastrar la pelota a la posición de inicio máxima (\(10\text{ m}\)) y golpear play. (También puede hacer clic en el botón en la parte superior para un movimiento bajo amortiguado). ¿Qué pasa? Este movimiento se llama movimiento armónico amortiguado.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Pruebe diferentes valores para\(b\). ¿En qué se diferencia el comportamiento de la masa para valores pequeños de\(b\) (menos de uno) que para valores mayores que\(2\text{ Ns/m}\) (asegúrese de usar la misma posición inicial cada vez)?

Si la masa oscila al menos una vez antes de detenerse, la amortiguación se llama bajo movimiento amortiguado. Si la masa nunca vuelve a la posición de equilibrio, el movimiento se llama sobreamortiguado. El caso en el que solo hay suficiente amortiguación para que no se produzca una oscilación (la masa apenas vuelve al equilibrio) se llama movimiento críticamente amortiguado.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Haga clic en los botones en la parte superior para un movimiento amortiguado por debajo, por encima y críticamente. Describir las diferencias entre estos tres casos.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Restablecer la simulación, establecer el parámetro de fricción,\(b\)\(1.0\text{ Ns/m}\) y la magnitud de la fuerza motriz,\(F_{0}\) a\(1.0\text{ N}\). La frecuencia angular debe ser\(1.0\text{ rad/s}\) también. Arrastre la pelota a la posición de inicio máxima y presione play. En esta y en las siguientes preguntas habrá que esperar más\(10\text{ s}\) o menos a que la moción se estabilice. Describir el movimiento estable después de las oscilaciones iniciales para este caso. Este movimiento se llama movimiento armónico impulsado y amortiguado.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Experimenta con diferentes cantidades de fuerza, manteniendo la fricción y la frecuencia angular iguales a una. También comienzan desde la misma posición cada vez. ¿Cuál es el efecto de mayores valores de amplitud de fuerza,\(F_{0}\) sobre el movimiento final y estable de la masa? SUMINISTRO: Use una toma de pantalla de la gráfica para comparar los resultados.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Con amortiguación,\(b\) configurado\(0.2\text{ Ns/m}\) y\(F_{0}\) configurado para\(1.0\text{ N}\) probar varios valores de la frecuencia de conducción angular,\(\omega\). Comienza con un valor de\(1.1\text{ rad/s}\) y aumenta\(0.1\) cada vez hasta llegar a\(1.8\text{ rad/s}\). En cada caso, espere hasta que termine la animación y mida la amplitud haciendo clic en la parte superior de la curva cerca del final. El segundo número en el cuadro amarillo es la amplitud en\(\text{m}\). Anote la amplitud para cada frecuencia de conducción. ¿Qué frecuencia de conducción terminó dando la mayor amplitud?

Se define que la resonancia ocurre cuando un sistema vibratorio es accionado con una frecuencia que causa la mayor amplitud. Generalmente esto ocurre cuando la frecuencia de conducción es igual a la frecuencia natural. Un ejemplo de resonancia es cuando una copa de vino es impulsada por ondas sonoras con una frecuencia igual a la frecuencia natural de la copa. Si la amplitud llega a ser lo suficientemente grande el vidrio se romperá. Hay muchos otros ejemplos de resonancia. Los instrumentos musicales dependen de los fenómenos de resonancia para producir tonos fijos, afinar una radio a un chanel en particular depende de seleccionar una frecuencia de resonancia y la Imaginación por Resonancia Magnética (MRI) en el mundo médico utiliza la resonancia para formar imágenes del interior del cuerpo humano.

Como vimos en el capítulo anterior la frecuencia natural, escrita como\(f_{0}\) viene dada por la rigidez de la primavera,\(\kappa\), y la masa;\(f_{0}=(\kappa /m)^{1/2}/2\pi\). En esta simulación la masa es\(1\text{ kg}\) y la constante de resorte es\(2\text{ N/m}\) así\(f_{0}=0.225\text{ Hz}\) y la frecuencia angular natural,\(\omega_{0}=2\pi f\) es igual\(1.41\text{ rad/s}\). En la pregunta anterior deberías haber visto la amplitud máxima para una frecuencia de conducción de\(1.41\text{ rad/s}\). En otras palabras una frecuencia de conducción,\(\omega\) de\(1.41\text{ rad/s}\) conduce a resonancia (amplitud máxima) porque es igual a la frecuencia natural,\(\omega_{0}\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Use una calculadora para encontrar la frecuencia natural para un sistema de resorte y masa con\(m=2.0\text{ kg}\) y\(\kappa = 5.0\text{ N/m}\). ¿Cuál esperas que sea la frecuencia de resonancia para este caso?

La fórmula matemática que describe el movimiento armónico amortiguado es\(Ae^{-\gamma t}\cos (\omega t+\varphi )\) donde\(\gamma =b/2m\). Observe que esta es la misma función coseno para el movimiento armónico simple pero la amplitud,\(A\), se multiplica por una función exponencialmente decreciente del tiempo,\(e^{-\gamma t}\). Así que esperamos que la oscilación de un oscilador armónico amortiguado sea una función coseno hacia arriba y hacia abajo con una amplitud que disminuye con el tiempo.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Verifique si la fórmula\(Ae^{-\gamma t}\cos (\omega t+\varphi )\) realmente describe el comportamiento del movimiento armónico amortiguado en la simulación. Para ello, use una calculadora gráfica (o vaya a la meta calculadora y elija la calculadora gráfica o use la calculadora de desmos) y la trama\(y = 10\ast\exp (-.2\ast x)\ast \cos(1.\ast x)\). Este es el caso\(A=10\text{ m}\);\(b=0.4\text{ Ns/m}\);\(m = 1.0\text{ kg}\); y\(\omega =1.0\text{ rad/s}\). (Puede cortar y pegar la ecuación en la calculadora en línea). ¿Cómo se compara esta gráfica con la simulación para estos mismos parámetros (nota: solo te interesan los\(x\) valores positivos)?

La fórmula matemática que describe el movimiento armónico impulsado y amortiguado es\(A_{0}\cos (\omega t+\varphi )\) donde\(A_{0} =(F_{0}/m)/((\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}+4\gamma ^{2}\omega^{2})^{1/2}\). En este caso la amplitud,\(A_{0}\) no cambia con el tiempo sino que depende de la frecuencia de conducción,\(\omega\).

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

¿Qué pasa con la amplitud,\(A_{0}\), cuándo\(\omega =\omega_{0}\) (supongamos que todos los demás factores son números constantes)? ¿Hay alguna otra combinación de\(\omega\) y\(\omega_{0}\) que dé una mayor amplitud?

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Verifica tu respuesta anterior haciendo una gráfica de\(A_{0}=(F_{0}/m)/((\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}+4\gamma^{2}\omega^{2})^{1/2}\) para un rango de frecuencia de conducción. Para ello, utilice una calculadora gráfica para graficar\(y = 1.0 / ((1.4\wedge 2 - x\wedge 2)\wedge 2 + 4\ast .04\ast 1.4\wedge 2)\wedge .5\). ¿Dónde tiene esta gráfica un máximo para valores positivos de\(x\)?

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

A partir de las dos preguntas anteriores, ¿cuál es la frecuencia de resonancia de este sistema y cómo se compara con la frecuencia natural?