4.6: Ecuación de Onda

Tutorial 4.6: La ecuación de onda lineal

En mecánica el tema de la cinemática es la descripción del movimiento de los objetos (velocidad, aceleración, etc.) mientras que el sujeto de la dinámica describe la situación física y las fuerzas que dan origen al movimiento (leyes de Newton). Hasta el momento hemos mirado la cinemática de las olas (descripciones de sus formas y cómo se mueven). En esta simulación observamos la dinámica de las olas; las situaciones físicas y las leyes dan origen a las olas.

Comenzamos con una cuerda que tiene una onda estacionaria sobre ella y observamos las fuerzas que actúan en cada extremo de un pequeño segmento de la cuerda debido a las secciones vecinas. Para fines de visualización, la cadena se muestra como una serie de masas pero el sistema físico es una cadena continua. Aunque la derivación es para una cadena, resultados similares ocurren en muchos otros sistemas. Los extremos de la sección de cuerda que nos interesa están marcados con puntos rojos en la simulación. La tensión que actúa en cada extremo se muestra con un vector (en rojo) y sus componentes (verde y azul). Las fuerzas horizontales cancelan (el segmento de cuerda no se mueve hacia la izquierda ni hacia la derecha) pero hay una fuerza neta en la dirección vertical (los componentes verticales izquierdo y derecho no son los mismos). Recuerde de la simulación cuatro que hay una aceleración transversal (y por lo tanto una fuerza transversal) que cambia con el tiempo en cada punto de la cuerda.

Fuerzas en un Segmento

Preguntas:

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Antes de jugar la simulación, use el transportador y mida el ángulo de la tensión en cada extremo del segmento (el transportador se puede arrastrar y también se puede mover la punta de la flecha). ¿Son los mismos ángulos?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Juega la simulación. Con base en lo que se sabe sobre la aceleración de un punto en una onda sinusoidal, explique por qué la magnitud y dirección de la fuerza neta sobre el segmento actúa de la manera que lo hace. (Sugerencia: Revisar simulación cuatro, pregunta siete.)

La tensión en el segmento es\(T_{1}\) de la cuerda de neigoring a la izquierda y\(T_{2}\) de la cuerda a la derecha. Si\(\theta_{1}\) es el ángulo que hace la tensión con la horizontal en el extremo izquierdo del segmento y\(\theta_{2}\) es el ángulo con la horizontal en el extremo derecho entonces la\(y\) fuerza total es\(F=-T_{1}\sin\theta_{1}+ T_{2}\sin\theta_{2}\).

Si la onda es de baja amplitud los ángulos son pequeños y tenemos\(\sin\theta\approx\tan\theta\) cual es la pendiente de la cuerda en ese punto. La pendiente viene dada por la derivada de la posición\(\tan\theta =\partial y/ \partial x\), por lo que podemos reemplazar la fuerza total sobre el segmento por\(F=T(-\partial y/ \partial x_{1}+\partial y/ \partial x_{2})\). El segmento tiene una longitud de\(\Delta x\). Multiplicar y dividir por esto para conseguir\(F=T\Delta x(-\partial y/ \partial x_{1}+\partial y/\partial x_{2})/ \Delta x\). Si ahora dejamos que\(\Delta x\) se vuelvan muy pequeños esto reduce a una segunda derivada:\(F=T\Delta x\partial ^{2}y/ \partial x^{2}\).

También sabemos por\(F=ma\) la fuerza es proporcional a la aceleración,\(a=\partial ^{2}y/ \partial t^{2}\). Para una masa por longitud dada por\(\mu\) la masa del segmento es\(\mu\Delta x\) y tenemos\(F=\Delta x\mu\partial ^{2} y/ \partial t^{2}\).

Estableciendo estas dos ecuaciones para fuerza igual entre sí tenemos la ecuación de onda para una cadena:\(T\partial ^{2}y/ \partial x^{2}=\mu\partial ^{2}y/ \partial t^{2}\) (las\(\Delta x\) cancelas). Recordemos de la simulación dos que\(v= (T/ \mu )^{1/2}\) para ondas en una cuerda así también podemos escribir la ecuación de onda lineal como\(\partial ^{2}y/ \partial x^{2}=1/ v^{2}\partial ^{2}y/ \partial t^{2}\). Aunque empezamos con y cordamos y aplicamos\(F=ma\), estas ecuaciones aparecen en muchas otras situaciones físicas. La misma ecuación se mantiene para las ondas sonoras en gas, líquidos y sólidos y para ondas electromagnéticas; solo la velocidad es diferente, como se señala en la simulación tres.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Verificar que\(y(x,t)=A\sin (kx-\omega t)\) sea una solución a la ecuación de onda lineal. Haga esto tomando dos\(x\) derivadas (el lado izquierdo de la ecuación) y dos derivadas de tiempo (el lado derecho de la ecuación) y sustituyendo sus respuestas por los términos en la ecuación de onda lineal. Cancelar términos similares en ambos lados. Deberías poder demostrarlo, para que\(y(x,t)=A\sin (kx-\omega t)\) sea una solución debes tener\(v=\omega /k\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Verificar que\(A\exp (-(kx-\omega t)^{2})\) sea una solución a la ecuación de onda lineal (este es el pulso de onda gaussiana en simulación 2.4). Haga esto tomando dos\(x\) derivadas (el lado izquierdo de la ecuación) y dos derivadas de tiempo (el lado derecho de la ecuación) y sustituyendo sus respuestas por los términos en la ecuación de onda lineal. Cancelar términos similares en ambos lados. Deberías poder volver a demostrar que\(v=\omega /k\) si esto es una solución a la ecuación de onda lineal.

En varias simulaciones agregamos ondas juntas. Esto quiere decir que si\(y_{1}(x,t)\) es una solución y\(y_{2}(x,t)\) es una solución hemos asumido que también\(y(x,t)=y_{1}(x,t)+y_{2}(x,t)\) es una solución a la ecuación de onda lineal.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Demostrar que la afirmación anterior es verdadera sustituyendo\(y(x,t)=y_{1}(x,t)+y_{2}(x,t)\) en la ecuación de onda lineal. Separe los términos para encontrar dos ecuaciones de onda, una para\(y_{1}(x,t)\) y una segunda para las\(y_{2}(x,t)\) cuales son iguales entre sí. Esto prueba la ley de superposición; cuando dos olas llegan al mismo punto al mismo tiempo podemos simplemente sumar sus amplitudes para encontrar la onda resultante.