4.7: Cadena del oscilador

Tutorial 4.7: Cadenas de masas oscilantes

En esta simulación examinamos las ondas que ocurren en cadenas de masas con masa\(M\) acopladas junto con elástico, las fuerzas de la ley de Hooke (\(f=-\kappa x\)donde\(\kappa\) está la constante elástica y\(x\) es la cantidad que estira el resorte). Las masas están obligadas a moverse solo hacia arriba y hacia abajo de modo que el estiramiento depende únicamente de la diferencia en las\(y\) ubicaciones de las masas. En este caso la fuerza sobre el número de masa\(i\) debido a sus vecinos en\(i+1\) y\(i-1\) es\(F_{i}=-\kappa [(u_{i+1}-y_{i})-(y_{1}-y_{i-1})]\). Las masas en cada extremo de la cadena son fijas y hay una pequeña cantidad de fricción en el sistema para que eventualmente las oscilaciones se extinguen.

Como primera aproximación, se puede imaginar que los átomos en un sólido se acoplan por fuerzas primaverales a sus vecinos, por lo que esta simulación modela un sólido unidimensional. En el límite a medida que la distancia entre las masas se vuelve muy pequeña este modelo se convierte en el modelo de una cuerda elástica.

La simulación abre una onda sinusoidal con\(32\) masas. Se puede cambiar el número de masas y también se puede agarrar una sola masa, moverla a una nueva ubicación e iniciar la simulación con esta nueva configuración. Los otros botones configuran las condiciones iniciales para diferentes números de masas. Cada uno de estos casos especiales son un ejemplo de un Modo Normal del sistema.

Cadena de oscilador acoplado

Preguntas:

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Pruebe las diversas configuraciones preestablecidas usando los botones debajo de la simulación. ¿Cuántos modos normales están disponibles para tres masas (una masa móvil) en la cadena? ¿Para cuatro masas (dos en movimiento)? ¿Para cinco masas?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Usa los botones de pausa y paso para medir la frecuencia de cada modo. ¿Qué son? ¿Son lo mismo?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Esboce los modos posibles para cuatro masas móviles (seis masas en total). ¿Cuántos modos hay?

Un modo normal es una configuración especial (estado) donde cada partícula se mueve sinusoidalmente con la misma frecuencia angular\(\omega_{m}\) donde\(m\) es un entero. El modo\(m\) -ésimo,\(\Phi_{m}\), de la cadena del oscilador de longitud\(L\) con\(N\) masas viene dado por\(\Phi_{m}(x,t)=\sin (m\pi x/L)\cos (\omega_{m}t+\varphi )\). La frecuencia angular de cada partícula viene dada por\(\omega_{m}^{2}=(4\kappa /M)\sin ^{2}(m\pi /2N)\).

Resulta que cualquier posible tipo de vibración puede ser descrito matemáticamente por una suma de los modos normales con amplitudes apropiadas. Esto equivale a la afirmación que investigamos en las simulaciones 2.5 y 3.9; las ondas periódicas complicadas siempre pueden ser descritas por una serie de senos y cosenos de Fourier. La diferencia para las masas en una cadena es que solo hay un número finito de modos disponibles. En un sistema continuo hay un número infinito de modos.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

También puedes agarrar y cambiar la posición de las masas en la simulación. Prueba esto comenzando con la condición inicial de onda sinusoidal. Describe lo que hiciste y lo que ves.

En la simulación 3.9 vimos la relación de dispersión lineal,\(\omega (k)=kv\) lo que nos dice que la frecuencia angular es proporcional al vector de onda,\(k\). Si la velocidad de la onda\(v\) es independiente de la frecuencia (es decir, no hay dispersión) entonces una gráfica de\(\omega\) versus\(k\) es una línea recta. Dado que\(\omega (k)\) es una función continua no hay limitación en el valor de las longitudes de onda, siempre y cuando se mantenga la proporcionalidad.

Pero en una cadena de masas no se pueden tener longitudes de onda que sean más cortas que la distancia entre las masas (ahí no hay nada que vibrar). Entonces, la relación de dispersión para una cadena de masa no puede ser la misma que la relación de dispersión lineal. Como se muestra anteriormente, la relación de dispersión para masas separadas por una distancia\(a\) cada una con\(M\) masa conectada a su vecina por un resorte con constante elástica\(\kappa\) viene dada por\(\omega (k)=2(\kappa /M)^{1/2}\sin (ka/2)\). (¡Cuidado! \(\kappa\)es la constante de resorte, no el vector de onda,\(k=2\pi /\lambda\).)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Pruebe varios valores de\(n\) para la cadena con la onda sinusoidal como condición inicial. ¿Qué puedes concluir de tus experiencias? ¿Cómo está limitada la longitud de onda por el número de masas?

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Hacer una gráfica de\(\omega (k)=kv\) y\(\omega (k)=2(\kappa /m)^{1/2}\sin (ka/2)\) versus\(k\) en la misma gráfica. Usar\(v=10\),\(\kappa =2\),\(m=1\) y\(a=0.1\). ¿En qué se diferencian las gráficas? ¿Para qué longitudes de onda (pequeñas o grandes) dan aproximadamente el mismo resultado? ¿Por qué se superponen para grandes valores de longitud de onda?

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Recordemos de la simulación 2.3 que la velocidad de grupo de un paquete de ondas viene dada por\(v_{\text{group}}=\partial\omega (k)/ \partial k\). Encuentra una expresión para la velocidad de grupo de una ola en una cadena de masas.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Observe que la velocidad de grupo para un paquete de ondas que viaja en una cadena de masas depende de la longitud de onda. En base a lo que aprendiste sobre la dispersión en la simulación 3.9, ¿qué esperas que le suceda a una bolsa de ondas mientras viaja por una cadena de masas conectadas por resortes?