4.8: Ondas no lineales

Tutorial 4.8: Dispersión, Fricción, Disipación y No Linealidad

En la simulación 4.6 derivamos la ecuación de onda lineal,\(\partial ^{2}y/ \partial x^{2}=1/v^{2} \partial ^{2} y/\partial t^{2}\) para una cuerda elástica considerando fuerzas que actúan sobre una pequeña sección de la cuerda. El lado derecho de la ecuación es básicamente la aceleración vertical de una pieza de la cuerda y el lado izquierdo es la fuerza. Constantes como la tensión y masa por unidad de longitud aparecen en la velocidad, v que es constante para un sistema lineal. Pero, ¿qué pasa si otras fuerzas actúan sobre la cuerda? Algunas fuerzas adicionales provocan la dispersión que vimos en las simulaciones 3.8 y 3.9. La fricción, disipación y no linealidad provocan otros comportamientos como veremos en esta simulación.

Nota

El applet de abajo en realidad simula una larga cadena de masas acopladas por resortes, como en la simulación anterior. Matemáticamente sabemos que en el límite continuo de masas pequeñas que están muy juntas obtenemos la ecuación de onda lineal como se muestra en la simulación 4.5. Siempre y cuando las ondas de la cadena sean suaves y cambien gradualmente, la cadena de masas se aproxima a la cuerda continua. Nuevas fuerzas que actúan sobre la cadena resultarán en que se agreguen nuevos términos a la ecuación de onda como se muestra a continuación. Debe tenerse en cuenta, sin embargo, que debido a que el modelo subyacente es discreto, la simulación puede no representar con precisión una cuerda elástica. Excepto por fricción y disipación, la energía total debe permanecer aproximadamente constante (puede haber pequeñas fluctuaciones). Si la energía comienza a derivar significativamente esto es una señal de que los cálculos numéricos de la simulación están fallando y la simulación ya no representa la cuerda elástica (o cualquier sistema real).

Ondas no lineales

Preguntas:

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Pruebe la simulación con dispersión, fricción, disipación y no linealidad establecidas en cero y el pulso gaussiano como condición inicial. ¿Se conserva la energía?

Supongamos que cada punto de la cuerda tenía una fuerza adicional que actuaba sobre ella que era proporcional a la amplitud de la cuerda en ese punto. En otras palabras muelles unidos a cada punto de la cuerda. Ahora se vería la ecuación de onda\(\partial ^{2}y/ \partial x^{2}+\alpha y=1/v^{2}\partial ^{2}y/ \partial t^{2}\). Este término conduce a la dispersión, fenómeno que examinamos anteriormente.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Enciende una pequeña cantidad de dispersión con todos los demás términos aún cero. Toca las conciones iniciales gaussianas. ¿Qué pasa con el pulso a lo largo del tiempo? ¿Cómo se compara esto con lo que viste en la simulación 3.9?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentre una relación de dispersión para la ecuación de dispersión sustituyéndola\(A\exp (-(kx-\omega t)^{2})\) en la ecuación y resolviendo para\(\omega\). Deberías poder demostrarlo para esta ecuación\(\omega =(\alpha +v^{2}k)^{1/2}\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Recordemos de la simulación 2.3 que la velocidad de grupo de un paquete de ondas viene dada por\(v_{\text{group}}=\partial\omega (k)/ \partial k\) pero la velocidad de fase es\(v_{\text{phase}}=\omega (k)/k\). La velocidad de fase y grupo son diferentes y dependen de la longitud de onda. Explique lo que esto significa físicamente. ¿Cómo explica esto lo que viste en la pregunta 4.7.2? (Sugerencia: Revisar simulación 2.3.)

Supongamos que nuestra cuerda intentaba vibrar en un medio como el agua o un gas denso. Esto introduciría una fuerza de fricción que sería proporcional a la velocidad;\(-\eta\partial y/\partial t\) donde\(\eta\) está el coeficiente de fricción. Ahora la ecuación de onda se vería así\(\partial ^{2}y/ \partial x^{2}-\eta\partial y/ \partial t=1/v^{2} \partial ^{2} y/ \partial t^{2}\). Esperamos que esta fuerza transfiera gradualmente energía al líquido o gas circundante.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Con los otros parámetros establecidos en cero, encienda una pequeña cantidad de fricción y juegue la condición inicial gaussiana. ¿Qué pasa? ¿Qué pasa con la energía?

Para cuerdas reales también hay fricción interna. Si alguna vez has tomado una percha metálica y la has doblado de un lado a otro muchas veces sabes que el lugar donde ocurre la flexión se calienta. Este fricitón interno, llamado disipación, también transfiere gradualmente la energía de las olas en una cuerda al movimiento térmico aleatorio de los átomos en la cuerda. Para la ecuación de onda esta fuerza puede ser representada por\(-\gamma\partial y/ \partial x\).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Con los otros parámetros puestos a cero, enciende una pequeña cantidad de disipación y reproduce la condición inicial gaussiana. ¿Qué pasa? ¿Qué pasa con la energía? Notarás que esto es ligeramente diferente al caso de fricción. Esto se debe a que un pulso gaussiano no es una solución a la ecuación de onda con este término aditinal en ella. Entonces no solo se transfiere energía a la cadena desde el pulso, el pulso cambia de forma.

Como ejemplo final de agregar fuerzas externas a una cuerda consideramos una fuerza representada por\(\pm\beta\partial ^{2}y^{2}/ \partial x^{2}\). Este es un término no lineal y tiene el efecto opuesto de dispersión; los términos no lineales hacen que un paquete de onda se empine en lugar de extenderse.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Con los otros parámetros establecidos en cero, encienda una pequeña cantidad de no linealidad y juegue la condición inicial gaussiana. ¿Qué pasa? ¿Qué sucede con los valores negativos de no linealidad?

Nota

La energía debe ser aproximadamente conservada - si la energía cambia significativamente los cálculos numéricos en la simulación están comenzando a fallar.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Quizás te preguntes qué hace que una ecuación no sea lineal. En la simulación 4.5 se demostró que\(y(x,t)=y_{1}(x,t)+y_{2}(x,t)\) era una solución a la ecuación de onda lineal siempre\(y_{1}(x,t)\) y cuando también\(y_{2}(x,t)\) son soluciones. Prueba esto con la ecuación\(\partial ^{2}y/ \partial x^{2}\pm\beta\partial ^{2}y^{2}/ \partial x^{2}=1/v^{2}\partial ^{2}y/ \partial t^{2}\). ¿La suma de dos soluciones es también una solución? Tenga en cuenta que esto significa que la superposición no funciona para sistemas no lineales; no podemos construir una serie de senos y cosenos de Fourier para hacer un pulso de onda.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

También es el caso de que las funciones trigonométricas (seno, coseno y exponencial) generalmente no son soluciones a ecuaciones no lineales. ¿Qué sucede con una condición inicial de onda sinusoidal a lo largo del tiempo con una pequeña cantidad de no linealidad?

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Como evidencia adicional de que las funciones trigonométricas no son soluciones, intente\(A\exp (i(kx-\omega t))\) como una posible solución a la ecuación no lineal sustituyéndola en la ecuación en cuestión\(\PageIndex{7}\). ¿Es una solución? Explique. ¿Es una solución a la ecuación con fricción pero sin término no lineal? ¿Qué pasa con los casos de disipación y dispersión?

Aunque una onda exponencial (plana) no es una solución a la ecuación no lineal deberías haber podido llegar a esta expresión en la pregunta anterior:\(\omega ^{2}=k^{2}v^{2}\pm 4\beta k^{2}A\exp (i(kx-\omega t))\). Podemos obtener una relación de dispersión aproximada a partir de esta expresión si usamos la expansión de la serie Taylor para el exponente:\(\exp\theta\approx (1+\theta +\theta ^{2}/2!+\ldots )\) y mantener solo el primer término. esto nos da la relación de dispersión aproximada para esta ecuación como\(\omega =k(v^{2}\pm 4\beta A)^{1/2}\).

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

La velocidad de grupo de un paquete de ondas viene dada por\(v_{\text{group}}=\partial\omega (k)/ \partial k\). Encuentra una expresión para la velocidad de grupo a partir de la expresión aproximada de la relación de dispersión para una cadena no lineal.

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Observe que el grupo y la velocidad de fase dependen de la amplitud,\(A\). Para el signo más en la relación de dispersión, ¿las olas más altas deben viajar más rápido o más lento que las ondas cortas? ¿Y para el signo menos?

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Debido a que las olas más altas viajan más rápido (para el caso del signo más), una colección de ondas hechas de varias frecuencias diferentes se acumulará gradualmente a medida que las olas más altas se pongan al día con las ondas más lentas y de menor amplitud. Repita la pregunta 4.7.6 y comente lo que ve.

Nota

Para esta simple fuerza no lineal la simulación no puede representar una verdadera ola rompiente como en la playa. También es el caso de que los cálculos numéricos fallarán una vez que la ola se ponga empinada. Pero es la no linealidad lo que hace que las olas se rompan. Las olas de agua interactúan con el fondo del océano mientras se mueven hacia aguas poco profundas. Estas interacciones son no lineales y hacen que un paquete de ondas se incline y luego se rompa a medida que las ondas más altas se mueven más rápido que las ondas de pequeña amplitud.