4.3: Medios transparentes

Como $\kappa=0$ se verifican las relaciones

$$\begin{aligned} \mathbf{k}^{2}-\mathbf{a}^{2} &=\frac{\omega^{2}}{c^{2}} n^{2} \\ \mathbf{k} \cdot \mathbf{a} &=0 \end{aligned}$$

$\mathbf{k}$ no se puede anular, luego surgen dos casos: o bien $\mathbf{a}=0$, o bien $\mathbf{a} \perp \mathbf{k}$.

• $\mathbf{a}=0$. La onda es plana y los vectores $\mathbf{k}, \mathbf{E}, \mathbf{H}$ son perpendiculares entre sí, como en el vacío. Pero hay diferencias importantes respecto al vacío. La longitud de onda cambia

$$|\mathbf{k}|=\frac{\omega}{c} n=\frac{2 \pi}{\lambda_{\text {medio }}}=\frac{2 \pi}{\lambda_{\text {vacio }}} n \notag$$

con lo que $\lambda_{\text {medio }}=\frac{\lambda_{\text {vacio }}}{n}$. También cambia la velocidad de fase

$$\begin{aligned} |\mathbf{k}| z-\omega t &=\text { cte } \\ v_{f} &=\frac{\omega}{|\mathbf{k}|}=\frac{c}{n} \end{aligned}$$

en algunos textos el índice de refracción que servirá para la óptica geométrica se define a partir de la última relación como:

$$n=\frac{c}{v_{f}} \notag$$

En este tipo de onda todo se propaga con la velocidad de fase, $\frac{c}{n}$.

Advertencia: la velocidad de fase, etc. dependerán de la frecuencia (en general los medios son dispersivos, $\left.n=n(\omega)^{1}\right)$.

Figura $\PageIndex{1}$: Planos de misma amplitud y de misma fase y su velocidad de propagación en $x z$.

• $\mathbf{a} \neq 0$. Podemos decir menos cosas. Poniendo $\mathbf{k}=k \mathbf{u}_{x}$ y $\mathbf{a}=a \mathbf{u}_{z}$ (figura 4.1), la onda se escribe

$$\mathbf{E}=\mathbf{E}_{0} e^{-a z} e^{i(k x-\omega t)} \notag$$

la onda es armónica pero no plana. Los puntos con igual amplitud se sitúan sobre planos perpendiculares al eje $z$. Los frentes de onda (superficies equifase) son planos perpendiculares al eje $x$. Se puede obtener la siguiente expresión para la velocidad de fase

$$v_{f}=\frac{\omega}{|\mathbf{k}|}=\frac{\omega}{\sqrt{a^{2}+\frac{\omega^{2}}{c^{2}} n^{2}}} \notag$$

y no podemos precisar más. No podemos decir qué ángulo forma $\mathbf{E}$ con $\mathbf{k}$ o a. Sólo podemos decir que $\mathbf{k}_{c} \cdot \mathbf{E}_{0}=0$. La importancia de esta solución se debe a

• que la veremos en el marco de reflexión-refracción como onda reflejada.
• que la propagación en el vacío es un caso particular de esa situación.

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^{1. Como se ve, toda la clasificación que hicimos de los medios podríamos haberla escrito en términos del índice de refracción, en lugar de la constante dieléctrica generalizada $\epsilon_{g e n}$, pero sólo porque tratamos medios no magnéticos.}