7.4: Propagación de ondas armónicas planas

$$\begin{aligned} \mathbf{D} &=\mathbf{D}_{0} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \\ \mathbf{H} &=\mathbf{H}_{0} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \\ \mathbf{E} &=\mathbf{E}_{0} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \end{aligned}$$

con $\mathbf{D}_{0}, \mathbf{H}_{0}, \mathbf{E}_{0} \in \mathcal{C}$ constantes y $\omega, \mathbf{k} \in \Re$ constantes (medios transparentes). Nuestro problema es determinar las relaciones que existen entre estos parámetros (por ejemplo, relación entre vector de ondas y frecuencia, o entre vector de ondas y vectores de intensidad de campo...).

Como siempre, acudimos a las ecMm y el resultado es

$$\begin{aligned} \mathbf{k} \cdot \mathbf{D}_{0} &=0 \\ \mathbf{k} \cdot \mathbf{H}_{0} &=0 \\ \mathbf{k} \wedge \mathbf{E}_{0} &=\mu \omega \mathbf{H}_{0} \\ \mathbf{k} \wedge \mathbf{H}_{0} &=-\omega \mathbf{D}_{0} \end{aligned}$$

Es decir, $\mathbf{D}, \mathbf{H}, \mathbf{k}$ son mutuamente perpendiculares entre sí. Además, $\mathbf{E} \perp \mathbf{H}$, pero eso no quiere decir $\mathbf{E} \perp \mathbf{k}$, que en general será falso. Esto implica que la energía no irá en la misma dirección que la fase. De modo que

$$\mathrm{S}=\mathrm{E} \wedge \mathrm{H} \notag$$

no lleva la misma dirección que el vector de ondas. En lo que sigue estudiaremos siempre la propagación de la fase, porque luego a partir de $\mathbf{E}, \mathbf{H}$ se obtiene de modo sencillo la propagación de la energía.

Si reescribimos el segundo rotacional y después sustituímos el valor de $\mathbf{H}_{0}$ que nos da el primero

$$\begin{aligned} \mathbf{D}_{0} &=\hat{\epsilon} \mathbf{E}_{0} \\ &=-\frac{1}{\omega} \mathbf{k} \wedge \mathbf{H}_{0} \\ &=-\frac{1}{\mu \omega^{2}} \mathbf{k} \wedge\left(\mathbf{k} \wedge \mathbf{E}_{0}\right) \end{aligned}$$

ejecutando el doble producto vectorial

$$\mathbf{D}_{0}=-\frac{1}{\mu \omega^{2}}\left(\mathbf{k}\left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{E}_{0}\right)-\mathbf{E}_{0}\left(\mathbf{k}^{2}\right)\right) \notag$$

finalmente el resultado de combinar los dos rotacionales es

$$\left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{E}_{0}\right) \mathbf{k}-\mathbf{k}^{2} \mathbf{E}_{0}+\mu \omega^{2} \hat{\epsilon} \mathbf{E}_{0}=0 \notag$$

ésto es un conjunto de 3 ecuaciones, que queremos resolver para $\mathbf{k}$ y para $\mathbf{E}$. Como son lineales en $\mathbf{E}_{0}$, las podemos reescribir con ayuda de una matriz, $M(\mathbf{k}, \hat{\epsilon})$ :

$$\mathrm{M}(\mathbf{k}, \hat{\epsilon}) \mathbf{E}_{0}=\mathbf{0} \notag$$

para escribir la matriz en la forma más sencilla posible hay que utilizar como ejes coordenados los ejes principales $x, y, z$. Entonces M es:

$$\left(\begin{array}{ccc} \left(n_{x} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2} & k_{x} k_{y} & k_{x} k_{z} \\ k_{y} k_{x} & \left(n_{y} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{z}^{2} & k_{y} k_{z} \\ k_{z} k_{x} & k_{z} k_{y} & \left(n_{z} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2} \end{array}\right)$$

El $\mathbf{E}_{0}$ debe ser autovector de la matriz con autovalor nulo. Se debe producir que $|M|=0$, lo que limitará los vectores de onda posibles.

El proceso será obtener dichos vectores de onda y luego llevarlos a la ecuación de autovalores para despejar $\mathbf{E}_{0}$. Eso equivale a la resolución completa del problema que nos habíamos fijado: determinar la propagación de oap en medios anisótropos.