7.4: Propagación de ondas armónicas planas
- Última actualización
- 27 abr 2022
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con \mathbf{D}_{0}, \mathbf{H}_{0}, \mathbf{E}_{0} \in \mathcal{C} constantes y \omega, \mathbf{k} \in \Re constantes (medios transparentes). Nuestro problema es determinar las relaciones que existen entre estos parámetros (por ejemplo, relación entre vector de ondas y frecuencia, o entre vector de ondas y vectores de intensidad de campo...).
Como siempre, acudimos a las ecMm y el resultado es
\begin{aligned} \mathbf{k} \cdot \mathbf{D}_{0} &=0 \\ \mathbf{k} \cdot \mathbf{H}_{0} &=0 \\ \mathbf{k} \wedge \mathbf{E}_{0} &=\mu \omega \mathbf{H}_{0} \\ \mathbf{k} \wedge \mathbf{H}_{0} &=-\omega \mathbf{D}_{0} \end{aligned}
Es decir, \mathbf{D}, \mathbf{H}, \mathbf{k} son mutuamente perpendiculares entre sí. Además, \mathbf{E} \perp \mathbf{H}, pero eso no quiere decir \mathbf{E} \perp \mathbf{k}, que en general será falso. Esto implica que la energía no irá en la misma dirección que la fase. De modo que
\mathrm{S}=\mathrm{E} \wedge \mathrm{H} \notag
no lleva la misma dirección que el vector de ondas. En lo que sigue estudiaremos siempre la propagación de la fase, porque luego a partir de \mathbf{E}, \mathbf{H} se obtiene de modo sencillo la propagación de la energía.
Si reescribimos el segundo rotacional y después sustituímos el valor de \mathbf{H}_{0} que nos da el primero
\begin{aligned} \mathbf{D}_{0} &=\hat{\epsilon} \mathbf{E}_{0} \\ &=-\frac{1}{\omega} \mathbf{k} \wedge \mathbf{H}_{0} \\ &=-\frac{1}{\mu \omega^{2}} \mathbf{k} \wedge\left(\mathbf{k} \wedge \mathbf{E}_{0}\right) \end{aligned}
ejecutando el doble producto vectorial
\mathbf{D}_{0}=-\frac{1}{\mu \omega^{2}}\left(\mathbf{k}\left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{E}_{0}\right)-\mathbf{E}_{0}\left(\mathbf{k}^{2}\right)\right) \notag
finalmente el resultado de combinar los dos rotacionales es
\left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{E}_{0}\right) \mathbf{k}-\mathbf{k}^{2} \mathbf{E}_{0}+\mu \omega^{2} \hat{\epsilon} \mathbf{E}_{0}=0 \notag
ésto es un conjunto de 3 ecuaciones, que queremos resolver para \mathbf{k} y para \mathbf{E}. Como son lineales en \mathbf{E}_{0}, las podemos reescribir con ayuda de una matriz, M(\mathbf{k}, \hat{\epsilon}) :
\mathrm{M}(\mathbf{k}, \hat{\epsilon}) \mathbf{E}_{0}=\mathbf{0} \notag
para escribir la matriz en la forma más sencilla posible hay que utilizar como ejes coordenados los ejes principales x, y, z. Entonces M es:
\left(\begin{array}{ccc} \left(n_{x} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2} & k_{x} k_{y} & k_{x} k_{z} \\ k_{y} k_{x} & \left(n_{y} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{z}^{2} & k_{y} k_{z} \\ k_{z} k_{x} & k_{z} k_{y} & \left(n_{z} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2} \end{array}\right)
El \mathbf{E}_{0} debe ser autovector de la matriz con autovalor nulo. Se debe producir que |M|=0, lo que limitará los vectores de onda posibles.
El proceso será obtener dichos vectores de onda y luego llevarlos a la ecuación de autovalores para despejar \mathbf{E}_{0}. Eso equivale a la resolución completa del problema que nos habíamos fijado: determinar la propagación de oap en medios anisótropos.
