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LibreTexts Español

3.3: Combinación de Velocidades

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Objetivos de aprendizaje

  • Explicar cómo agregar velocidades relativisticamente

En la física no relativista, las velocidades se suman en movimiento relativo. Por ejemplo, si una embarcación se mueve en relación con un río, y el río se mueve en relación con la tierra, entonces la velocidad de la embarcación en relación con la tierra se encuentra por adición vectorial. Este comportamiento lineal no puede sostenerse relativisticamente. Por ejemplo, si una nave espacial se mueve con relación a la tierra a velocidad3/5 (en unidades conc=1), y lanza una sonda a velocidad3/5 relativa a sí misma, no podemos tener la sonda moviéndose a una velocidad6/5 relativa a la tierra, porque esto sería mayor que el máximo velocidad de causa y efecto, que es1. Para ver cómo sumar velocidades relativisticamente, consideramos el efecto de llevar las dos transformaciones de Lorentz una tras otra, figura3.3.1.

higo 3.3.1.png
Figura3.3.1: Dos transformaciones de Lorentzv=3/5 se aplican una tras otra. Las transformaciones se representan de acuerdo con las convenciones gráficas de la sección 1.4.

La pendiente inversa del lado izquierdo de cada paralelogramo indica su velocidad relativa al marco original, representado por el cuadrado. Dado que el lado izquierdo del paralelogramo final no ha barrido más allá de la diagonal, claramente representa una velocidad de menos de1, no más. Para determinar el resultado, utilizamos el hecho de que losD factores se multiplican. Elegimos velocidades3/5 porque daD=2, lo que es fácil de trabajar. Duplicar la diagonal larga dos veces da un factor de estiramiento general de4, y resolver la ecuaciónD(v)=4 parav da el resultado,v=15/17.

Ya podemos ver la respuesta a la pregunta 2 en la sección 3.0: Preludio a la Cinemática. Si seguimos acelerando una nave espacial de manera constante, simplemente estamos continuando el proceso de aceleración que se muestra en la figura3.3.1. Si hacemos esto indefinidamente, la velocidad se acercarác=1 pero nunca la superará. (Para más información sobre este tema de ir más rápido que la luz, ver sección 4.7.)

Ejemplo3.3.1: Accelerating electrons

higo 3.3.2.png
Figura3.3.2: Aceleración de electrones

La figura3.3.2 muestra los resultados de un experimento de 1964 de Bertozzi en el que los electrones fueron acelerados por el campo eléctrico estáticoE de un acelerador Van de Graaff de longitudl1. Entonces se les permitió volar por una línea de haz de longitudl2=8.4m sin que se les actúe por ninguna fuerza. El tiempo de vuelot2 se utilizó para encontrar la velocidad finalv=l2t2 a la que habían sido acelerados. (Para que la porción de baja energía de la gráfica sea legible, se omite el punto de datos de mayor energía de Bertozzi).

Si creyéramos en las leyes de Newton, entonces los electrones tendrían una aceleración

aN=Ee/m

lo que sería constante si, como pretendemos por el momento, el campoE fuera constante. (El campo eléctrico dentro de un acelerador de Van de Graaff no es realmente del todo uniforme, pero esto va a resultar no importar). La predicción newtoniana para el tiempo durante el cual se produce esta aceleración es

tN=2ml1/eE

Una aceleraciónaN que actúa por un tiempotN debe producir una velocidad final

aNtN=2eV/m

dondeV=El1 esta la diferencia de voltaje. (Por conservación de energía, esta ecuación se mantiene aunque el campo no sea constante). La línea continua en la gráfica muestra la predicción de las leyes de Newton, que es que una fuerza constante ejercida de manera constante a lo largo del tiempo producirá una velocidad que se eleva linealmente y sin límite.

Los datos experimentales, mostrados como puntos negros, cuentan claramente una historia diferente. La velocidad asintóticamente se acerca a un límite, que identificamos comoc. La línea discontinua muestra las predicciones de la relatividad especial, que aún no estamos listos para calcular porque aún no hemos visto cómo la energía cinética depende de la velocidad a velocidades relativistas.

Obsérvese que la relación entre el primer y segundo fotogramas de referencia en la figura3.3.1 es la misma que la relación entre el segundo y el tercero. Por lo tanto, si un pasajero va a sentir una sensación constante de aceleración (o, de manera equivalente, si un acelerómetro a bordo del barco va a mostrar una lectura constante), entonces el tiempo adecuado requerido para pasar del primer cuadro al segundo debe ser el mismo que el tiempo adecuado para pasar del segundo al tercero. Una buena manera de expresar esto es definir la rapidez\( η =\ ln D\). Combinar velocidades significa multiplicarD, lo que es lo mismo que sumar sus logaritmos. Por lo tanto podemos escribir la regla relativista para combinar velocidades simplemente como

_ηc = η_1 + η_2

Los pasajeros perciben la aceleración como constante siη aumentan en la misma cantidad por unidad de tiempo adecuado. En otras palabras, podemos definir una aceleración adecuadadη/dτ, que corresponde a lo que mide un acelerómetro.

La rapidez es conveniente y útil, y se utiliza con mucha frecuencia en la física de partículas. Pero en términos de velocidades ordinarias, la regla para combinar velocidades también se puede reescribir usando esta identidad de la sección 3.6 como

v_c = \dfrac{v_1+v_2}{1+v_1v_2}. \label{eq3}

Ejercicio\PageIndex{1}

¿Cómo podemos decir que la Ecuación\ ref {eq3} está escrita en unidades naturales? Reescribirlo en unidades SI.


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