3.7: El Operador de Proyección

Objetivos de aprendizaje

• Explicar el operador de proyección

Una fuente frecuente de confusión en la relatividad es que escribimos ecuaciones que son dependientes de coordenadas, pero olvidamos la dependencia. De igual manera, es posible escribir expresiones que sólo son válidas para una elección de firma. La siguiente notación, definiendo un operador de proyección$P$, es una herramienta para evitar estas dificultades.

$$P_or = r - \dfrac{r\cdot o}{o\cdot o}o$$

Por$o$ lo general, el vector temporal futuro representa a un cierto observador, pero la definición se puede aplicar siempre y cuando$o$ no sea similar a la luz. La idea que se expresa es que queremos deshacernos de cualquier parte de$r$ eso es paralela a$o$ la flecha del tiempo. En una gráfica construida$o$ de acuerdo con las coordenadas de Minkowski,$r$ proyectamos la sombra perpendicularmente sobre el eje espacial, o el triplano espacial en$3+1$ dimensiones. Es por ello$P$ que se denomina operador de proyección. La notación a veces nos permite expresar las cosas que de otro modo expresaríamos construyendo y haciendo referencia explícita o implícitamente a las coordenadas espaciales$o$ de Minkowski.

Propiedades del operador de proyección

$P$tiene las siguientes propiedades:

1. $o\cdot P_or = 0$
2. $r - P_or$es paralelo a$o$.
3. $P_o o = 0$
4. $P_o P_or = P_or$
5. $P_{co} = P_o$
6. $P_o$es lineal, es decir,$P_o(q +r) = P_oq + P_or$ y$P_o(cr) = cP_or$
7. $\tfrac{d}{dx}P_or = P_o\tfrac{dr}{dx}$, donde$x$ hay alguna variable y de la que$o$ no depende$x$.
8. Si$o$ y$v$ son ambos futuros como tiempo, y$|o^2| = 1$, entonces podemos expresarnos$v$ como$v = P_ov + \gamma o$, donde$\gamma$ tiene la interpretación habitual para las líneas del mundo que coinciden con estos dos vectores.

Todos estos se mantienen independientemente de si la firma es$+---$ o$-+ ++$, y ninguno de ellos se refiere a ninguna de las coordenadas. Las propiedades 1 y 2 pueden servir como alternativa, definición geométrica de$P$. Propiedad 3 dice que una observadora se considera a sí misma en reposo. La propiedad 4 es una propiedad general de todos los operadores de proyección. La propiedad 8 divide el vector en sus partes espaciales y temporales de acuerdo con$o$.

A veces, si conocemos una posición, velocidad o aceleración de cuatro vectores, queremos averiguar cómo estos serían medidos por un observador en particular usando relojes y reglas. En la siguiente tabla se$\PageIndex{1}$ muestra cómo cambiar de un lado a otro entre las dos representaciones. Usamos, por ejemplo, la notación$v_o$ para significar el vector de velocidad de la forma$(0,v_x,v_y,v_z)$ que sería medido por un observador cuyo vector de velocidad es$o$ (para que el subíndice sea un “$o$” para “observador”, no un cero). Dado que este tipo de vector, expresado en las coordenadas Minkowski de observador$o$, tiene un componente de tiempo cero, nos referimos a él como un vector de tres. En todas estas expresiones, los vectores de velocidad$o$ y$v$ se supone que están normalizados, y se supone que la firma es$+---$ (una implicación$o\cdot v$ es que es simplemente$\gamma$).

Tabla$\PageIndex{1}$: Cómo cambiar de ida y vuelta entre las dos representaciones.

Encontrar el tres vector a partir del cuatro vector	Encontrar el cuatro vector a partir del tres vector
$X_o = P_oX$
$v_o = \dfrac{P_ov}{o\cdot v}$	$v = \gamma (o + v_o)$
$a_o = \dfrac{1}{(o\cdot v)^2}\left [ P_oa - (o\cdot a)v_o \right ]$	$a = \gamma ^3(a_o\cdot v_o)v + \gamma ^2a_o$, donde$v$ se encuentra como arriba

Como ejemplo de cómo se derivan estos, la velocidad de tres$v_o$ es la derivada de$x_o$ con respecto a la coordenada de tiempo Minkowski$o$ del observador$t$, mientras que la velocidad de cuatro se define como la derivada de$x$ con respecto al tiempo apropiado$τ$ de la línea mundial siendo observado. Por lo tanto tenemos

$$\begin{align*} v_o &= \dfrac{\mathrm{dX_o} }{\mathrm{d} t}\\[5pt] &= \dfrac{\mathrm{d} P_oX}{\mathrm{d} t} \end{align*}$$

y aplicando la propiedad 7 del operador de proyección esto se convierte en

$$\begin{align*} v_o &= P_o\dfrac{\mathrm{dX} }{\mathrm{d} t}\\[5pt] &= P_o\dfrac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} \tau }\dfrac{\mathrm{d} \tau }{\mathrm{d} t}\\[5pt] &= \dfrac{1}{\gamma }P_o\dfrac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} \tau }\\[5pt] &= \dfrac{1}{o\cdot v}P_o\dfrac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} \tau }\\[5pt] &= \dfrac{P_o v}{o\cdot v} \end{align*}$$

La derivación similar pero más desordenada de la expresión para$a_o$ es el problema Q15. Al manipular expresiones de este tipo, la identidad$\dfrac{\mathrm{d} \gamma }{\mathrm{d} t} = \gamma ^3 a_o\cdot v_o$ suele ser útil.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Lewis-Tolman paradox

El siguiente ejemplo es una forma de paradoja discutida por Lewis y Tolman en 1909.

Figura$\PageIndex{1}$: Marco de referencia del observador$o$

La figura$\PageIndex{1}$ muestra el marco de referencia del observador$o$ en el que las partículas idénticas$1$ y$2$ están inicialmente en reposo y se ubican a distancias iguales$l$ del origen a lo largo de$x$ los ejes$y$ y. Las fuerzas externas de igual fuerza actúan en las direcciones mostradas por las flechas para producir aceleraciones de magnitud$α$. El sistema está en equilibrio rotacional$dL/dt = 0$, porque la velocidad a la que la partícula$1$ recoge el momento angular en sentido horario es la misma que la velocidad a la que la$2$ adquiere en sentido contrario a las agujas del reloj.

Ahora cambie al marco de referencia o0, moviéndose hacia la derecha con relación a$o$ a velocidad$v$. La distancia$2$ de la partícula desde el origen es Lorentz contraída de$l$ a$l/\gamma$, por lo que su momento angular también se reduce en$1/\gamma$. Ahora parece que el momento angular total del sistema está aumentando en el sentido de las agujas del reloj. ¿Cómo podemos tener equilibrio rotacional en un cuadro, pero no en otro?

La resolución de la paradoja es que las aceleraciones también se transforman. En el cuadro original$o$, las cuatro velocidades son$v_1 = v_2 = (1,0,0,0)$, y las cuatro aceleraciones son$a_1 = (0,α,0,0)$ y$a_2 = (0,0,α,0)$. Aplicando una transformación Lorentz, tenemos$v_{1}^{'} = v_{2}^{'} = (\gamma ,-\gamma v,0,0)$ y

$$a_{1}^{'} = \alpha (-\gamma v,\gamma ,0,0)\\[5pt] a_{2}^{'} = \alpha (0,0,1,0) \nonumber$$

Nuestra definición de momento angular se expresa en términos de tres vectores como$a_{o'1}$ y$a_{o'2}$, no cuatro vectores como$a_{1}^{'}$ y$a_{2}^{'}$. Tenemos

$$\dfrac{\mathrm{d} L'}{\mathrm{d} t'} = ma_{o'1x}l - ma_{o'2y}\dfrac{l}{\gamma } \nonumber$$

Usando las relaciones$v_o = \gamma ^{-1}P_o v$ y$a_o = \gamma ^{-2}\left [ P_o a - (o\cdot a)v_o\right ]$, encontramos

$$v_{o'1x} = -v$$

$$a_{o'1x} = \dfrac{1}{\gamma ^2}\left [ \alpha \gamma - (-\alpha \gamma v)(-v) \right ] = \dfrac{\alpha }{\gamma ^3} \nonumber$$

y

$$a_{o'2y} = \dfrac{\alpha }{\gamma ^2} \nonumber$$

El resultado es

$$\dfrac{\mathrm{d} L'}{\mathrm{d} t'} = m\dfrac{\alpha }{\gamma ^3}l - m\dfrac{\alpha }{\gamma ^2}\dfrac{l}{\gamma } \nonumber$$

que es cero.