1.2: Mecánica Matriz

La mayor parte de nuestro trabajo hará uso de la formulación de mecánica matricial de la mecánica cuántica. La función de onda se escribe como\(|\Psi\rangle\) y se conoce como un vector ket. El conjugado complejo\(\Psi^{*}=\langle\Psi|\) es un vector bra, donde\(\langle a \Psi|=a^{*}\langle\Psi|\). El producto de un vector sujetador y ket,\(\langle\alpha \mid \beta\rangle\) es por lo tanto un producto interno (escalar), mientras que el producto de un ket y sujetador\(|\beta\rangle\langle\alpha|\) es un producto externo (matriz). El uso de vectores bra—ket es la notación Dirac en mecánica cuántica.

En la representación matricial,\(|\Psi\rangle\) se representa como un vector de columna para los coeficientes de expansión\(c_{i}\) en un conjunto de bases particular.

\ [|\ Psi\ rangle=\ left (\ begin {array} {c}
c_ {1}\\
c_ {2}\\
c_ {3}\\
\ vdots
\ end {array}\ derecha)\ label {14}\]

El vector bra\(\langle\Psi|\) se refiere a un vector de fila de los coeficientes de expansión conjugados\(c_{i}^{*}\). Dado que las funciones de onda están normalizadas,\(\langle\Psi \mid \Psi\rangle=1\). La notación Dirac tiene la ventaja de la brevedad, a menudo acortando la función de onda a una simple notación abreviada para los números cuánticos relevantes en el problema. Por ejemplo, podemos escribir eq. (1.1.7) como

\[|\Psi\rangle=\sum_{i} c_{i}|i\rangle \label{15} \]

donde la suma es sobre todos los autoestados y el\(i^{\text {th}} \text { eigenstate }|i\rangle=\psi_{i}\). Implícito en esta ecuación es que el coeficiente de expansión para el\(i^{\text {th }} \text { eigenstate is } c_{i}=\langle i \mid \Psi\rangle\). Con esta brevedad viene la tendencia a ocultar algunas de las variables importantes para la descripción de la función ondulada. Uno tiene que ser consciente de esto, y aunque usaremos la notación Dirac para la mayor parte de nuestro trabajo, donde se requiere detalle, se utilizará la notación Schrödinger.

El producto exterior\(|i\rangle\langle i|\) se conoce como operador de proyección porque puede ser utilizado para proyectar la función de onda del sistema sobre\(i^{\mathrm{th}}\) el estado propio del sistema como\(|i\rangle\langle i \mid \Psi\rangle=c_{i}|i\rangle\). Además, si sumamos operadores de proyección sobre el conjunto completo de bases, obtenemos un operador de identidad

\[\sum_{i}|i\rangle\langle i|=1 \label{16} \]

que es una declaración de la integridad de un conjunto de bases. La ortogonalidad de las funciones propias (eq. (1.1.8)) se resume como\(\langle i \mid j\rangle=\delta_{i j}\).

El operador\(\hat{A}\) es una matriz cuadrada que mapea de un estado a otro

\[\hat{A}\left|\Psi_{0}\right\rangle=\left|\Psi_{A}\right\rangle \label{17} \]

y a partir de la eq. (1.1.6) el TISE es

\[\hat{H}|\Psi\rangle=E|\Psi\rangle \label{18} \]

donde E es una matriz diagonal de valores propios cuya solución se obtiene de la ecuación característica

\[\operatorname{det}(H-E \mathbf{I})=0 \label{19}\]

Se escribe el valor de expectativa, una reafirmación de eq. (1.1.10)

\[\langle A\rangle=\langle\Psi|\hat{A}| \Psi\rangle \label{20}\]

o de la eq. (\ ref {15})

\[\langle A\rangle=\sum_{i} \sum_{j} c_{i}^{*} c_{j} A_{i j} \label{21}\]

donde\(A_{i j}=\langle i|A| j\rangle\) están los elementos de la matriz del operador\(\hat{A}\). Como veremos más adelante, la matriz de coeficientes de expansión\(\rho_{i j}=c_{i}^{*} c_{j}\) se conoce como la matriz de densidad. De la eq. (\ ref {18}), vemos que el valor esperado del hamiltoniano es la energía del sistema,

\[E=\langle\Psi|H| \Psi\rangle \label{22}\]

Los operadores hermitianos juegan un papel especial en la mecánica cuántica. El hermitiano contiguo de un operador\(\hat{A} \text { is written } \hat{A}^{\dagger}\), y se define como la transposición conjugada de\(\hat{A}: \hat{A}^{\dagger}=\left(\hat{A}^{T}\right)^{*}\). De esto vemos\(\langle\hat{A} \psi \mid \phi\rangle=\left\langle\psi \mid \hat{A}^{\dagger} \phi\right\rangle\). Un operador hermitiano es aquel que es autoadjunto, es decir,\(\hat{A}^{\dagger}=\hat{A}\). Para un operador hermitiano, existe una transformación unitaria única que la diagonalizará.

Cada conjunto de bases proporciona una ruta diferente para representar el mismo sistema físico, y una transformación de similitud S transforma una matriz de una base ortonormal a otra. Una transformación desde el estado\(|\Psi\rangle \text { to the state }|\Phi\rangle\) puede expresarse como

\[|\Theta\rangle=S|\Psi\rangle\]

donde están los elementos de la matriz\(S_{i j}=\left\langle\theta_{i} \mid \psi_{j}\right\rangle\). Entonces la transformación inversa es

\[|\Psi\rangle=S^{\dagger}|\Theta\rangle\]

Si\(S^{-1} = S^{\dagger}\), entonces\(S^{\dagger} S=1\) y se dice que la transformación es unitaria. Una transformación unitaria se refiere a una transformación de similitud en el espacio de Hilbert que conserva el producto escalar, es decir, la longitud del vector. La transformación de un operador de una base a otra se obtiene a partir de\(S^{\dagger} A S\) y diagonalizar se refiere a encontrar la transformación unitaria que pone la matriz A en forma diagonal.

Propiedades de los operadores

1. La inversa de\(\hat{A}\left(\text { written } \hat{A}^{-1}\right)\) se define por

\[\hat{A}^{-1} \hat{A}=\hat{A} \hat{A}^{-1}=1\]

2. La transposición de\(\hat{A}\left(\text { written } A^{T}\right)\) es

\[\left(A^{T}\right)_{n q}=A_{q n}\]

Si\(A^{T}=-A\) entonces la matriz es antisimétrica.

3. El rastro de\(\hat{A}\) se define como

\[\operatorname{Tr}(\hat{A})=\sum_{q} A_{q q}\]

El rastro de una matriz es invariante a una operación de similitud.

4. El hermitiano colindante de\(\hat{A}\left(\text { written } \hat{A}^{\dagger}\right)\) es

\ [\ begin {array} {l}
\ hat {A} ^ {\ daga} =\ left (\ hat {A} ^ {T}\ right) ^ {*}\
\ izquierda (\ hat {A} ^ {\ daga}\ derecha) _ {n q} =\ left (\ hat {A} _ {q n}\ right) ^ {*}
\ end {array}\]

5. \(\hat{A}\)es hermitiano si\(\hat{A}^{\dagger}=\hat{A}\)

\[\left(\hat{A}^{T}\right)^{*}=\hat{A}\]

Si\(\hat{A}\) es hermitiano, entonces\(\hat{A}^{n}\) es hermitiano y\(e^{\hat{A}}\) es hermitiano. Para un operador hermitiano,\(\langle\psi \mid \hat{A} \varphi\rangle=\langle\psi \hat{A} \mid \varphi\rangle\). Los valores de expectativa de los operadores hermitianos son reales, por lo que todos los observables físicos están asociados con los operadores hermitianos.

6. \(\hat{A}\)es un operador unitario si su adjunto es también su inverso:

\ [\ begin {array} {l}
\ sombrero {A} ^ {\ daga} =\ sombrero {A} ^ {-1}\\
\ izquierda (\ sombrero {A} ^ {T}\ derecha) ^ {*} =\ sombrero {A} ^ {-1}\
\ sombrero {A}\ sombrero {A} ^ {\ daga} =1\ quad\ Rightarrow\ quad\ left (\ hat {A}\ sombrero {A} ^ {\ daga}\ derecha) _ {n q} =\ delta_ {n q}
\ end {array}\]

7. \(\hat{A}^{\dagger}=-\hat{A} \text { then } \hat{A}\)se dice que es antihermitiano. Los operadores antihermeticos tienen valores imaginarios de expectativa. Cualquier operador se puede descomponer en sus partes hermitianas y antihermitianas como

\ [\ comenzar {matriz} {l}
\ sombrero {A} =\ sombrero {A} _ {H} +\ sombrero {A} _ {A}\
\ sombrero {A} _ {H} =\ frac {1} {2}\ izquierda (\ sombrero {A} +\ sombrero {A} ^ {\ daga}\ derecha)\
\ sombrero {A} _ {A} = frac {1} {2}\ izquierda (\ hat {A} -\ hat {A} ^ {\ dagger}\ derecha)
\ end {array}\]

Propiedades de los colectores

De la definición de un conmutador:

\[[\hat{A}, \hat{B}]=\hat{A} \hat{B}-\hat{B} \hat{A}\]

encontramos que es antisimétrico intercambiar:

\[[\hat{A}, \hat{B}]=-[\hat{B}, \hat{A}]\]

y distributivo:

\[[\hat{A}, \hat{B}+\hat{C}]=[\hat{A}, \hat{B}]+[\hat{B}, \hat{C}]\]

Estas propiedades conducen a una serie de identidades útiles:

\[\left[\hat{A}, \hat{B}^{n}\right]=n \hat{B}^{n-1}[\hat{A}, \hat{B}]\]

\[\left[\hat{A}^{n}, \hat{B}\right]=n \hat{A}^{n-1}[\hat{A}, \hat{B}]\]

\[[\hat{A}, \hat{B} \hat{C}]=[\hat{A}, \hat{B}] \hat{C}+\hat{B}[\hat{A}, \hat{C}]\]

\[[[\hat{C}, \hat{B}], \hat{A}]=[[\hat{A}, \hat{B}], \hat{C}]\]

\ [\ begin {array} {l}
{[\ hat {A}, [\ hat {B},\ hat {C}]] + [\ hat {B}, [\ hat {C},\ hat {A}]]}\
\ quad+ [\ hat {C}, [\ hat {A},\ hat {B}]] =0
\ end {array}\]

El conjugado hermetiano de un conmutador es

\[[\hat{A}, \hat{B}]^{\dagger}=\left[\hat{B}^{\dagger}, \hat{A}^{\dagger}\right]\]

Además, el conmutador de dos operadores hermitianos también es hermitiano. El anti-conmutador se define como

\[[\hat{A}, \hat{B}]_{+}=\hat{A} \hat{B}+\hat{B} \hat{A}\]

y es simétrico al intercambio. Para dos operadores hermitianos, su producto puede escribirse en términos del conmutador y el anti-conmutador como

\[\hat{A} \hat{B}=\frac{1}{2}[\hat{A}, \hat{B}]+\frac{1}{2}[\hat{A}, \hat{B}]_{+}\]

El anticonmutador es la parte real del producto de dos operadores, mientras que el conmutador es la parte imaginaria.