4.1: Partículas ultrarelativistas

Objetivos de aprendizaje

• Explicar la partícula ultrarelativista

Un\(22\) rifle típico calibre dispara una bala con una masa de aproximadamente\(3\:g\) a una velocidad de aproximadamente\(400\: m/s\). Ahora considere el disparo de un rifle de este tipo visto a través de un telescopio ultrapotente por un alienígena en una galaxia distante. Ocurre que estamos disparando en dirección alejada del alienígena, quien obtiene una vista por encima de nuestro hombro. Dado que el universo se está expandiendo, nuestras dos galaxias están retrocediendo la una de la otra. En el marco del alienígena, nuestra propia galaxia es la que se mueve —digamos a la ¹\(c - (200\: m/s \). Si las dos velocidades simplemente se agregaran, la bala se estaría moviendo a\(c + (200\: m/s\). Pero las velocidades no se limitan a sumar y restar relativisticamente, y aplicando la ecuación correcta para la combinación relativista de velocidades, encontramos que en el marco del alienígena, la bala vuela solo a la altura\(c - (199.9995\: m/s)\). Es decir, según el extraterrestre, ¡la energía en la pólvora solo logró acelerar la bala\(0.0005\: m/s\)! Si insistiéramos en creer\(K=\frac{1}{2}mv^2\), esto violaría claramente la conservación de la energía en el marco de referencia del extraterrestre. Parece que la energía cinética no sólo debe elevarse más rápido que a\(v^2\) medida que se\(v\) acerca\(c\), debe volar hasta el infinito. Esto da una explicación dinámica de por qué ningún objeto material puede alcanzar o superar jamás\(c\), como ya hemos inferido por motivos puramente cinemáticos.

Para el extraterrestre, tanto nuestra galaxia como la bala son objetos ultrarelativistas, es decir, objetos que se mueven casi\(c\). Una buena manera de pensar sobre una partícula ultrarelativista es que es una partícula con una masa muy pequeña. Por ejemplo, la partícula subatómica llamada neutrino tiene una masa muy pequeña, miles de veces menor que la del electrón. Los neutrinos se emiten en la desintegración radiactiva, y debido a que la masa del neutrino es tan pequeña, la cantidad de energía disponible en estas desintegraciones siempre es suficiente para acelerarla hasta muy cerca de\(c\). Nadie ha logrado jamás observar un neutrino que no fuera ultrarelativista. Cuando la masa de una partícula es muy pequeña, la masa se vuelve difícil de medir. Durante casi\(70\) años después de que se descubrió el neutrino, se pensó que su masa era cero. De igual manera, actualmente creemos que un rayo de luz no tiene masa, pero siempre es posible que su masa se encuentre distinta de cero en algún momento en el futuro. Un rayo de luz se puede modelar como una partícula ultrarelativista.

Comparemos partículas ultrarelativistas con vagones de tren. Un solo automóvil con energía cinética\(E\) tiene propiedades diferentes a un tren de dos autos cada uno con energía cinética\(E/2\). El solo auto tiene la mitad de la masa y una velocidad que es mayor por un factor de\(\sqrt{2}\). Pero lo mismo no es cierto para las partículas ultrarelativistas. Dado que una partícula ultrarelativista idealizada tiene una masa demasiado pequeña para ser detectable en cualquier experimento, no podemos detectar la diferencia entre\(m\) y\(2m\). Además, las partículas ultrarelativistas se mueven cerca de\(c\), por lo que no hay diferencia observable en la velocidad. Por lo tanto, esperamos que una sola partícula ultrarelativista con energía\(E\) comparada con dos partículas de este tipo\(E/2\), cada una con energía, tenga todas las mismas propiedades medidas por un detector mecánico.

Una partícula idealizada de masa cero tampoco tiene marco en el que pueda estar en reposo. Siempre viaja a\(c\), y no importa lo rápido que lo persigamos, nunca podremos ponernos al día. Podemos, sin embargo, observarlo en diferentes marcos de referencia, y encontraremos que su energía es diferente. Por ejemplo, las galaxias distantes están retrocediendo de nosotros a fracciones sustanciales de\(c\), y cuando las observamos a través de un telescopio, aparecen muy tenues no sólo porque están muy lejos sino también porque su luz tiene menos energía en nuestro marco que en un marco en reposo relativo a la fuente. Este efecto debe ser tal que cambiar los marcos de referencia de acuerdo con una transformación específica de Lorentz siempre cambie la energía de la partícula por un factor fijo, independientemente de la energía original de la partícula; porque si no, entonces el efecto de una transformación de Lorentz sobre una sola partícula de energía\(E\) sería diferente de su efecto sobre dos partículas de energía\(E/2\).

¿Cómo depende este factor de cambio de energía de la velocidad\(v\) de la transformación de Lorentz? Aquí se vuelve más agradable trabajar en términos de la variable\(D\). Escribamos\(f(D)\) para el factor de cambio de energía que resulta de una transformación de Lorentz dada. Dado que una transformación de Lorentz\(D_1\) seguida de una segunda transformación\(D_2\) equivale a una sola transformación por\(D_1D_2\), debemos tener\(f(D_1D_2) = f(D_1)f(D_2)\). Esto constriñe fuertemente la forma de la función\(f\); debe ser algo así como\(f(D) = D^n\), donde\(n\) es una constante. La interpretación de\(n\) es que bajo una transformación Lorentz correspondiente a\(1\%\) de\(c\), las energías de partículas ultrarelativistas cambian en aproximadamente\(n\%\) (haciendo la aproximación que\(v = 0.1\) da\((D \simeq 1.01)\). En su artículo original de 1905 sobre relatividad especial, Einstein utilizó las ecuaciones de Maxwell y la transformación de Lorentz para mostrar eso para una onda de luz\(n = 1\), y demostraremos en la sección 4.3 que esto es compatible con cualquier objeto ultrarelativista. Escribió: “Es notable que la energía y la frecuencia... varíen con el estado de movimiento del observador de acuerdo con la misma ley. ” Presumiblemente estaba interesado en este hecho porque 1905 fue también el año en que publicó su artículo sobre el efecto fotoeléctrico, que formó los cimientos de la mecánica cuántica. Un axioma de la mecánica cuántica es que la energía y frecuencia de cualquier partícula están relacionadas por\(E = hf\), y si\(E\) y no se\(f\) hubieran transformado de la misma manera relativisticamente, entonces la mecánica cuántica habría sido incompatible con la relatividad.

Si asumimos que ciertos objetos, como los rayos de luz, son verdaderamente sin masa, en lugar de solo tener masas demasiado pequeñas para ser detectables, entonces su\(D\) no tiene ningún valor finito, pero aún podemos encontrar en qué se diferencia la energía según diferentes observadores al encontrar el\(D\) de los Lorentz transformación entre los marcos de referencia de los dos observadores.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): The astronomical energy shift of the Andromeda Galaxy

Por razones cuántico-mecánicas, un átomo de hidrógeno sólo puede existir en estados con ciertas energías específicas. Por la conservación de la energía, el átomo solo puede absorber o emitir luz que tenga una energía igual a la diferencia entre dos de esas energías atómicas. La atmósfera exterior de una estrella está compuesta principalmente por hidrógeno monoatómico, y una de las energías que un átomo de hidrógeno puede absorber o emitir es\(3.0276×10^{-19}\: J\). Cuando observamos la luz de las estrellas en la Galaxia de Andrómeda, tiene una energía de\(3.0306 × 10^{-19}\: J\). Si se supone que esto se debe enteramente al movimiento de la Vía Láctea y la Galaxia de Andrómeda en relación entre sí, a lo largo de la línea que las conecta, encuentra la dirección y magnitud de esta velocidad.

Solución

La energía se desplaza hacia arriba, lo que significa que la Galaxia de Andrómeda se está moviendo hacia nosotros. (Siempre se observa que las galaxias a distancias cosmológicas están retrocediendo unas de otras, pero esto no necesariamente se sostiene para galaxias tan cercanas como estas). Relacionando el cambio de energía con la velocidad, tenemos

\[\frac{E'}{E} = D = \sqrt{\frac{1+v}{1-v}}\]

Dado que el cambio es de sólo una parte por mil, la velocidad es pequeña en comparación con\(c\) — o pequeña\(1\) en comparación con en unidades donde\(c = 1\). Por lo tanto podemos emplear la aproximación a baja velocidad\(D \approx 1+v\), que da

\[\begin{align*} v \approx D-1 &= \frac{E'}{E}-1 \\[5pt] = -1.0 \times 10^{-3} \end{align*}\]

El signo negativo confirma que la fuente se acerca en lugar de retroceder. Esto es en unidades donde\(c = 1\). Conversión a unidades SI, donde\(c \neq 1\), tenemos

\[v = (-1.0 \times 10^{-3})c = -300\: km/s.\]

Si bien el movimiento tangencial de la Galaxia de Andrómeda no se conoce con precisión, se considera probable que colisionará con la Vía Láctea en unos pocos miles de millones de años.

Referencias

¹ En realidad, cuando dos velocidades se mueven a velocidades relativistas comparadas entre sí, están separadas por una distancia cosmológica, y la relatividad especial en realidad no nos permite construir marcos de referencia tan grandes.