7.1: Un ejemplo - Coordenadas aceleradas

Objetivos de aprendizaje

• Explicar cómo generalizar las reglas del capítulo 6 a cualquier cambio de coordenadas
• Cómo encontrar la forma de la métrica expresada en coordenadas no Minkowski.

En tu anterior estudio de física, has visto muchos ejemplos donde un sistema de coordenadas hace la vida más fácil que otro. Para un bloque que se empuja hacia arriba por un plano inclinado, la opción más conveniente puede ser inclinar los ejes x e y. Para encontrar el momento de inercia de un disco utilizamos coordenadas cilíndricas. Lo mismo ocurre en la relatividad. Las coordenadas de Minkowski no siempre son las más convenientes. En el Capítulo 6 aprendimos a clasificar las cantidades físicas como covectores, escalares y vectores, y aprendimos reglas sobre cómo estos tres tipos de cantidades se transformaron en dos cambios especiales de coordenadas:

1. Cuando reescalamos todas las coordenadas por un factor\(α\), los componentes de vectores, escalares y covectores escalan por\(α^p\)\(p = +1\)\(0\), dónde y\(-1\), respectivamente.
2. Bajo un impulso, los tres casos requieren respectivamente la transformación de Lorentz, ninguna transformación y la transformación inversa de Lorentz.

En este capítulo aprenderemos cómo generalizar esto a cualquier cambio de coordenadas, ¹ y también cómo encontrar la forma de la métrica expresada en coordenadas no Minkowski.

Empecemos con un ejemplo concreto que tenga cierto interés físico. En la Sección 5.2, vimos que podríamos tener “gravedad sin gravedad”: un experimento realizado en un campo gravitacional uniforme puede interpretarse como un experimento en el espacio-tiempo flat (para que se aplique la relatividad especial), pero con las mediciones expresadas en el marco acelerado de la superficie terrestre. En el experimento Libra-Rebka, todos los resultados podrían haberse expresado en un marco de referencia inercial (caída libre), utilizando las coordenadas de Minkowski, pero esto habría sido extremadamente inconveniente, porque, por ejemplo, no querían dejar caer sus costosos relojes atómicos y tomar las lecturas antes del los relojes golpearon el piso y fueron destruidos.

Dado que esto es “gravedad sin gravedad”, en realidad no necesitamos que un planeta abarrote la imagen. Imagina un universo que consiste en espacio-tiempo ilimitado, vacío y flat. Describirlo inicialmente usando las coordenadas de Minkowski\((t,x,y,z)\). Ahora supongamos que queremos encontrar un nuevo conjunto de coordenadas\((T,X,Y ,Z)\) que correspondan al marco de referencia de un observador a bordo de una nave espacial acelerando en la\(x\) dirección con una aceleración constante.

La respuesta galilea sería\(X = x - \tfrac{1}{2}at^2\). Pero esto es insatisfactorio desde un punto de vista relativista por varias razones. En\(t = c/a\) el observador se estaría moviendo a la velocidad de la luz, pero la relatividad no permite que los marcos de referencia se muevan a\(c\) (Sección 3.4). At\(t > c/a\), el movimiento del observador sería más rápido que\(c\), pero esto es imposible en\(3 + 1\) dimensiones (Sección 3.8).

Estos problemas están relacionados con el hecho de que la aceleración adecuada del observador, es decir, la lectura en un acelerómetro a bordo del barco, no es constante si\(x = \tfrac{1}{2}at^2\). Vimos en el Ejemplo 3.5.2 que la aceleración adecuada constante se describe por\(x = \tfrac{1}{a} \cosh a\tau\)\(t = \tfrac{1}{a} \sinh a\tau\),, donde\(τ\) está el tiempo adecuado. Para este movimiento, la velocidad sólo se aproxima\(c\) asintóticamente. Esto sugiere lo siguiente para la relación entre los dos conjuntos de coordenadas:

\[t = X \sinh T\]

\[x = X \cosh T\]

\[y = Y\]

\[z = Z\]

Por ejemplo, si el barco sigue una línea mundial\((T,X) = (τ,1)\), entonces su movimiento en el marco no acelerado es\((t,x) = (\sinh τ,\cosh τ)\), que es de la forma deseada con\(a = 1\).

Las\((T,X,Y ,Z)\) coordenadas, llamadas coordenadas de Rindler, tienen muchas, pero no todas, de las propiedades que nos gustaría para un fotograma acelerado. Idealmente, nos gustaría tener todo lo siguiente:

1. la aceleración adecuada es constante para cualquier línea mundial de constante\((X,Y ,Z)\)
2. la aceleración adecuada es la misma para todas esas líneas mundiales, es decir, el campo gravitacional ficticio es uniforme
3. la descripción del fotograma acelerado es solo un cambio de coordenadas, es decir, solo estamos hablando del flat espacio-tiempo de la relatividad especial, con eventos renombrados.

Resulta que podemos elegir dos de tres de estos, pero no es posible satisfacer a los tres al mismo tiempo. Las coordenadas de Rindler satisfacen las condiciones 1 y 3, pero no 2. Esto se debe a que la aceleración adecuada de una línea mundial de constante se\((X,Y ,Z)\) puede demostrar fácilmente que es\(1/X\), de lo que depende\(X\). Así no hablamos de las coordenadas de Rindler como “las” coordenadas de un observador acelerado.

Las coordenadas de Rindler tienen la propiedad de que si una varilla se extiende a lo largo del eje\(X\) -, y se le aplican fuerzas externas de tal manera que cada punto de la varilla tiene constante\(X\), entonces acelera a lo largo de su propia longitud sin ningún esfuerzo.

Las diagonales son horizontes de eventos. Su intersección se encuentra a lo largo de cada\(T\) línea constante; cf. Ejemplo 1.4.7.

Referencias

¹ Requerimos que el cambio de coordenadas sea suave en el sentido definido en la p. 127, es decir, debe ser un diffeomorfismo.