2.1: Introducción a la Geometría del Espacio-Tiempo Plano
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El tratamiento geométrico del espacio, el tiempo y la gravedad solo requiere como base la equivalencia de la masa inercial y gravitacional. Ante esta suposición, podemos describir la trayectoria de cualquier partícula de prueba de caída libre como geodésica. La equivalencia de la masa inercial y gravitacional se mantiene para la gravedad newtoniana, por lo que de hecho es posible rehacer la gravedad newtoniana como una teoría del espacio-tiempo curvo. Este proyecto fue llevado a cabo por el matemático francés Cartan. La geometría de los marcos de referencia locales es muy sencilla. Las tres dimensiones del espacio tienen una geometría aproximadamente euclidiana, y la dimensión de tiempo está completamente separada de ellas. Esto se conoce como un espacio-tiempo euclidiano con 3+1 dimensiones. Aunque el panorama es radicalmente diferente al de Newton, todas las predicciones de resultados experimentales son las mismas.
Los experimentos de la Sección 1.2 muestran, sin embargo, que hay violaciones reales y verificables experimentalmente de las leyes de Newton. En la física newtoniana, se supone que el tiempo fluye al mismo ritmo en todas partes, lo que hemos encontrado que es falso.El flujo del tiempo en realidad depende del estado de movimiento del observador a través del espacio, lo que demuestra que las dimensiones del espacio y el tiempo están entrelazadas de alguna manera. Por lo tanto, la geometría de los marcos locales en la relatividad no debe ser tan simple como Euclides 3+1. Su geometría real estaba implícita en el artículo de Einstein de 1905 sobre la relatividad especial, y ya había sido desarrollada matemáticamente, sin la interpretación física completa, por Hendrik Lorentz. El trabajo de Lorentz y Einstein fueron explícitamente conectados por Minkowski en 1907, por lo que un marco de Lorentz a menudo se conoce como un marco Minkowski.
Para describir esta geometría de Lorentz, necesitamos agregar más estructura encima de los axiomas O1-O4 de geometría ordenada, pero no será la estructura euclidiana adicional de E3-E4, será algo diferente. Para ver cómo proceder, comencemos pensando en qué mínimo desnudo de maquinaria geométrica se necesita para establecer marcos de referencia.