2.2: Derivadas Parciales
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La ecuación
\[ z = z (x,~ y)\]
representa una superficie bidimensional en el espacio tridimensional. La superficie cruza el plano y = constante en una curva plana en la que z es una función de x. Entonces se puede imaginar fácilmente calcular la pendiente o gradiente de esta curva en el plano y = constante. Esta pendiente es\( \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y\) - la derivada parcial de z con respecto a x, manteniéndose y constante. Por ejemplo, si
\[ z = y \ln x,\]
entonces
\[ \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y = \frac{y}{x},\]
y siendo tratado como si se tratara de una constante, que, en el plano y = constante, lo es. De manera similar, la derivada parcial de z con respecto a y, manteniéndose x constante, es
\[ \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)_x = \ln x\]
Cuando sólo se tienen tres variables —como en este ejemplo— suele ser obvio cuál de ellas se mantiene constante. Así, z/y difícilmente puede significar otra cosa que no sea a x constante. Por esa razón, a menudo se omite el subíndice. En la termodinámica, muchas veces hay más de tres variables, y suele ser (diría siempre) esencial indicar por un subíndice qué cantidades se mantienen constantes.
En materia de pronunciación, a veces se hacen varios intentos para dar una pronunciación especial al símbolo. (He escuchado “día”, y “tinte”.) Mi propia preferencia es sólo decir “parcial dz by dy”.
Supongamos que hemos evaluado z at (x, y). Ahora bien, si aumentas x por δx, ¿cuál será el incremento resultante en z? Obviamente, a primer orden, lo es\( \frac{\partial x}{\partial x} \delta x\). Y si y aumenta en δ y, el incremento en z será\( \frac{\partial z}{\partial y} \delta y\). Y si tanto x como y aumentan, el incremento correspondiente en z, a primer orden, será
\[ \delta z = \frac{\partial z}{\partial x} \delta x + \frac{\partial z}{\partial y} \delta y\]
No se necesita ninguna prueba matemática grande y difícil para “derivar” esto; es solo una declaración en inglés simple de una obviedad obvia. El incremento en z es igual a la tasa de incremento de z con respecto a x veces el incremento en x más la tasa de incremento de z con respecto a y veces el incremento en y.
De igual manera si x e y van aumentando con el tiempo a tasas\( \frac{dx}{dt}\) y\( \frac{dy}{dt}\), la tasa de incremento de z con respecto al tiempo es
\[ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}.\]