2.3: Diferenciación implícita
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La ecuación 2.2.5 puede ser utilizada para resolver el problema de diferenciación de una función implícita. Consideremos, por ejemplo, la ecuación improbable
\[ \ln ( xy) = x^2 y^3 \label{2.3.1}\]
Calcular la derivada dy/dx. Sería fácil si solo uno pudiera escribir esto en la forma y = algo; pero es difícil (imposible que yo sepa) escribir y explícitamente en función de\(x\). Ecuación\ ref {2.3.1} implícitamente se\(y\) relaciona con\(x\). ¿Cómo vamos a calcular\(dy/dx\)?
La curva\(f(x, y) = 0\) podría considerarse como la intersección de la superficie\(z = f (x , y)\) con el plano\(z = 0\). Visto así, la derivada\(dy/dx\) puede pensarse como el límite como\(δx\) y\(δy\) acercarse a cero de la relación\(δy/δx\) dentro del plano\(z = 0\); es decir, mantener z constante y por lo tanto\(δz\) igual a cero. Así la ecuación 2.2.5 nos da que
\[ \frac{dy}{dx} = - \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) / \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right).\]
Por ejemplo, mostrar que, para Rquation\ ref {2.3.1},
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{y(2x^2y^3-1)}{x(1-3x^2y^3)}.\]