2.8: Dee y Delta

Hemos discutido los significados especiales de los símbolos\(∂\) y de la “" ** "”, pero también necesitamos ser claros acerca de los significados de los símbolos diferenciales más familiares\(∆\),\(δ\), y\(d\).” A menudo es conveniente usar el símbolo\(∆\) para indicar un incremento (no necesariamente un incremento particularmente pequeño) en alguna cantidad. Entonces podemos usar el símbolo\(δ\) para significar un pequeño incremento. Entonces podemos decir que si, por ejemplo,\(y = x^2\), y si\(x\) se incrementara en una pequeña cantidad\(δx\), el incremento correspondiente en se\(y\) daría aproximadamente por

\[ \delta y \cong 2x \delta x\]

Es decir,

\[ \frac{\partial y}{\partial x} \cong 2x.\]

Esto no llega a ser exacto hasta que tomamos el límite como\(δx\) y nos\(δy\) acercamos a cero. Escribimos este límite como\( \frac{dy}{dx}\) y entonces es exactamente cierto que

\[ \frac{dy}{dx}=2x.\]

Existe un punto de vista válido que argumentaría que no se puede escribir\(dx\) ni\(dy\) solo, ya que ambos son cero; solo se puede escribir la proporción\( \frac{dx}{dy}\). Sería un error, por ejemplo, escribir

\[ dy = 2x~dx, \label{2.8.4}\]

o en el mejor de los casos equivale a escribir 0 = 0. No voy a contradecir ese argumento, pero, a riesgo de incurrir en la ira de algunos lectores, muchas veces voy a escribir ecuaciones como la Ecuación\ ref {2.8.4}, o, más probablemente, en un contexto termodinámico, ecuaciones como

\[dU = T dS − PdV,\]

aunque prefieras que yo diga eso, por pequeños incrementos,

\[δU ≅ T δS − PδV.\]

Voy a argumentar que, en el límite de los incrementos infinitesimales, es exactamente cierto eso\(dU = T dS − PdV\). Después de todo, cuanto menores son los incrementos, más cerca se acerca a ser verdad, y, en el límite cuando los incrementos son infinitesimalmente pequeños, es exactamente cierto, aunque solo signifique que cero es igual a cero. Espero que esto no cause demasiados problemas conceptuales.