2.7: Multiplicadores indeterminados
- Page ID
- 127516
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Deje que ψ (x, y, z) sea alguna función de x, y y z. Entonces, si x, y z son variables independientes, normalmente uno entendería que, donde ψ es un máximo, las derivadas son cero:
\[ \frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial \psi}{\partial z} = 0.\]
Sin embargo, si x, y y z no son completamente independientes, sino que están relacionados por alguna ecuación limitante como f (x, y, z) = 0, la situación es un poco menos simple. (En un contexto termodinámico, las tres variables pueden ser, por ejemplo, tres “variables de estado intensivo”, P, V y T, y ψ podría ser la entropía, que es una función del estado. Sin embargo, las variables de estado intensivo pueden no ser completamente independientes, ya que están relacionadas por una “ecuación de estado”, como PV = RT.)
Si nos movemos por desplazamientos infinitesimales dx, dy, dz desde un punto donde ψ es un máximo, los cambios correspondientes en ψ y f serán ambos cero, y por lo tanto deben satisfacerse ambas ecuaciones siguientes.
\[ d \psi = \frac{\partial \psi}{\partial x} dx + \frac{\partial \psi}{\partial y} dy + \frac{\partial \psi}{\partial z} dz = 0,\]
\[ df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz = 0.\]
En consecuencia, cualquier combinación lineal de ψ y f, como Φ = ψ + λ f, donde λ es una constante arbitraria, también satisface una ecuación similar. La constante λ a veces se denomina “multiplicador indeterminado” o “multiplicador lagrangiano”, aunque a menudo alguna información adicional en un problema real permite identificar la constante.
En resumen, las condiciones de que ψ es un máximo (o punto mínimo o sillín), si x, y y z están relacionados por una restricción funcional f (x, y, z) = 0, son
\[ \begin{matrix} \frac{\partial \Phi}{\partial x} = 0 & \frac{\partial \Phi}{\partial y} = 0, & \frac{\partial \Phi}{\partial z} = 0, \end{matrix}\]
donde
\[ \Phi = \psi + \lambda f.\]
Por supuesto, si ψ es una función de muchas variables x 1, x 2, x 3..., y las variables están sujetas a varias restricciones, como f = 0, g = 0, h = 0, etc., donde f, g, h, etc., son funciones que conectan todas o algunas de las variables, las condiciones para que ψ sea un máximo (etc.) son
\[ \frac{\partial \psi}{\partial x_i} + \lambda \frac{\partial \psi}{\partial x_i} + \mu \frac{\partial \psi}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial \psi}{\partial x_i} + ... = 0,~ i = 1,~2,~3\]