8.8: Tasa de Lapso Adiabático

La atmósfera terrestre no es, por supuesto, isotérmica. La temperatura disminuye con la altura. La tasa de lapso de temperatura en una atmósfera es la tasa de disminución de la temperatura con la altura; es decir, es −dT/dZ.

Una atmósfera adiabática es aquella en la que P /ρ ^γ no varía con la altura. En tal atmósfera, si un bulto de aire se mueve adiabáticamente a un nivel superior, su presión y densidad cambiarán para que P /ρ ^γ sea constante —y será igual a la presión ambiental y densidad a la nueva altura. Para tal atmósfera, es posible calcular la velocidad a la que la temperatura disminuye con la altura, la tasa de lapso adiabático. Haremos este cálculo, y veremos cómo se compara con las tasas de lapso reales.

Al igual que en la Sección 8.7, la condición para el equilibrio hidrostático es

\[ d P=-\rho g d z.\]

Como estamos tratando de encontrar una relación entre T y z para una atmósfera adiabática (es decir, una en la que P /ρ ^γ no varíe con la altura), necesitamos encontrar las relaciones adiabáticas entre P y T y entre ρ y T.

Estos se encuentran fácilmente a partir de la relación adiabática entre P y ρ:

\[ P=c \rho^{\gamma}\]

y la ecuación de estado de gas ideal:

\[ P=\frac{\rho R T}{\mu}.\]

Eliminar P:

\[ \rho=\left(\frac{R T}{c \mu}\right)^{1 /(\gamma-1)}.\]

Eliminar ρ:

\[ P=\frac{R^{\gamma /(\gamma-1)}}{\mu^{\gamma /(\gamma-1)} c^{1 /(\gamma-1)}} T^{\gamma /(\gamma-1)},\]

de la cual

\[ d P=\frac{\gamma}{\gamma-1} \frac{R^{\gamma /(\gamma-1)}}{\mu^{\gamma /(\gamma-1)} c^{1 /(\gamma-1)}} T^{1 /(\gamma-1)} d T.\]

Sustituir las ecuaciones (8.8.4) y (8.8.6) en la ecuación (8.8.1), para obtener, después de un poco de álgebra, la siguiente ecuación para la tasa de lapso adiabático:

\[ -\frac{d T}{d z}=\left(1-\frac{1}{\gamma}\right) \frac{g \mu}{R}.\]

Esto es independiente de la temperatura.

Si se toma que la masa molar media para el aire sea de 28.8 kg kmol ⁻¹, y g sea 9.8 m s ⁻² para latitudes templadas, se obtiene para la tasa de lapso adiabático para aire seco −9.7 K km ⁻¹. La presencia de vapor de agua en el aire húmedo reduce el valor medio de µ (y por lo tanto la tasa de lapso adiabático), y las tasas de lapso reales suelen ser más bien menores que las tasas de lapso adiabático calculadas incluso para el aire húmedo. (La presencia de vapor de agua también aumenta ligeramente el valor de γ. Esto daría como resultado una tasa de lapso ligeramente mayor, pero el efecto no es tan grande como la reducción en la tasa de lapso causada por el mayor valor de µ. Prueba algunos números para convencerte de esto.) La Atmósfera Estándar de la Organización de Aviación Civil Internacional toma la tasa de lapso en la troposfera (primeros 11 km) para ser −6.3 K km ⁻¹. ¿Qué sucede si la tasa de lapso real es más rápida que la tasa de lapso adiabático? Si imaginas que un trozo de aire se moverá adiabáticamente a un nivel superior, su presión y densidad cambiarán para que P /ρ ^γ sea constante, y luego se encontrará en una región donde su nueva densidad es menor que la nueva densidad ambiental. En consecuencia, seguirá subiendo, y la atmósfera será convectivamente inestable, y se producirá una tormenta. La atmósfera es estable siempre y cuando la tasa de lapso real sea menor que la tasa de lapso adiabático (que se reduce en el aire húmedo) es inestable si la tasa de lapso real es mayor que la tasa de lapso adiabático.