10.5: Radiación de cuerpo negro

Antes de olvidar todas las ecuaciones de este capítulo, usemos la ecuación 10.2.12 (que ya hemos usado dos veces — una en la derivación del coeficiente de Joule-Thomson y otra en la derivación de C _P − C _V) en una aplicación totalmente diferente:

\[ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}-P.\]

Esta es una relación termodinámica muy general, y de ninguna manera se restringe al experimento de Joule. Apliquémoslo a la radiación electromagnética (más que a las moléculas) en un recinto.

Es posible que ya hayas estudiado la teoría de la radiación en una cavidad y la teoría estrechamente relacionada de la radiación de cuerpo negro. Sabrás que la teoría electromagnética clásica no pudo explicar las características observadas de la radiación de cuerpo negro, y que no se explicó completamente hasta el advenimiento de la teoría cuántica. A mediados del siglo XIX Kirchhoff argumentó teóricamente que la densidad de energía dentro de una cavidad era independiente de la naturaleza de las paredes de la cavidad y dependía únicamente de la temperatura y la longitud de onda. Stefan había demostrado experimentalmente que la densidad de radiación dentro de una cavidad integrada en todas las longitudes de onda era proporcional a la cuarta potencia de la temperatura. Posteriormente, Lummer y Pringsheim hicieron algunas mediciones detalladas que mostraron cómo la densidad de radiación por hasta la longitud de onda variaba con la longitud de onda y la temperatura. Rayleigh y Jeans demostraron que la teoría electromagnética clásica falló mal a longitudes de onda cortas para explicar la distribución observada de la radiación de la cavidad con longitud de onda. En 1900 Planck, sin saber muy bien por qué, demostró que, si consideraba que la radiación estaba compuesta por cuantos de energía hν, se esperaría que la densidad de energía por unidad de volumen por unidad de intervalo de longitud de onda variara como\( u_{\lambda}=\frac{C_{1}}{\lambda^{5}\left(e^{C_{2} / \lambda T )}-1\right)}\) lo que coincidía muy bien con los datos experimentales de Lummer y Pringsheim. También puedes saber que si integras esta expresión sobre todas las longitudes de onda (no particularmente fácil), encuentras que\( \int u_{\lambda} d \lambda\) es proporcional a T ⁴, así también coincidiendo con las observaciones de Stefan.

Sin embargo, aunque la teoría cuántica era necesaria para explicar las mediciones de Lummer-Pringsheim de cómo varía u _λ con la temperatura, Boltzmann utilizó la teoría termodinámica clásica para explicar la ley T ⁴ de Stefan casi inmediatamente después de que Stefan anunciara su resultados, y mucho antes del advenimiento de la teoría cuántica. La teoría de la radiación nos dice que la energía de radiación por unidad de volumen u depende únicamente de la temperatura (esta es la ley de radiación de Kirchhoff) y que la presión de radiación P está relacionada con la energía por unidad de volumen por\( P=\frac{1}{3} u\). La derivación de esto es muy similar a la expresión que derivamos para la presión de moléculas en un gas. Para esta situación, la ecuación 10.2.12 se convierte en

\[ u=\frac{1}{3} T \frac{d u}{d T}-\frac{u}{3},\]

o

\[ 4 u=T \frac{d u}{d T}.\]

Integración de esto (¡hazlo!) muestra que u ∝ T ⁴, sin necesidad alguna de teoría cuántica.

Esto suele escribirse como u ∝ a T ⁴, pero cuidado, aquí a no es lo que generalmente se conoce como “la constante de Stefan”. Consulte los Capítulos 1 y 2 (especialmente la Sección 1.17) de mis notas de Atmósferas Estelares para obtener más información sobre esto. La Ley de Stefan generalmente se refiere a la salida de una superficie corporal negra, M = σ T ⁴, mientras que aquí nos referimos a la densidad de energía de la radiación en una cavidad. La relación entre a y la constante de Stefan σ es a = 4σ/ c.

Ahora suponga que tuviste alguna radiación a temperatura T en un recinto (como El Universo) de volumen V. Y supongamos que ese volumen iba a expandirse adiabáticamente, diluyendo así la densidad energética. ¿Cuál sería la nueva temperatura? En lo que sigue, V significa el volumen (no el volumen “específico” o “molar”) del recinto. U es la energía interna de la radiación en su interior, y u es la densidad de energía de radiación, tal que U = uV, y vamos a estar haciendo uso de\( P=\frac{1}{3} u\) y de\( u=a T^{4}\).

Si el volumen se incrementara en dV a presión P, el trabajo realizado por la radiación sería\( P d V=\frac{1}{3} u d V\), y, si asumimos que la expansión es adiabática, esto da como resultado (por la primera ley de la termodinámica) una disminución de la energía interna. Aplicamos la primera ley: dU = − PdV. Eso es

\[ d(u V)=u d V+V d u=-\frac{1}{3} u d V.\]

\[ \frac{d V}{V}=-\frac{3}{4} \frac{d u}{u}.\]

Por lo tanto

\[ V \propto u^{-3 / 4} \quad \text { or } u \propto V^{-4 / 3}.\]

Pero u ∝ T ⁴ y por lo tanto

\[ V T^{3} \text { is constant, }\]

o la temperatura es inversamente proporcional a las dimensiones lineales del recinto.